Sabendo que sen alpha=35 com 0<alpha<pi e cos beta=13 com 3 pi2<beta<2 pi. Calcule:
cos (alpha-beta)

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui. Temos dois ângulos, alpha e beta. Sabemos que:
  • sin alpha = 35, e alpha está entre 0 e pi (ou seja, no primeiro ou segundo quadrante).
  • cos beta = 13, e beta está entre 3pi/2 e 2pi (ou seja, no quarto quadrante).
Nosso objetivo é calcular cos (alpha - beta). Para isso, vamos usar algumas fórmulas trigonométricas e conhecimentos sobre os quadrantes dos ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do cosseno da diferença de dois ângulos:
cos (alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta
Então, vamos precisar encontrar cos alpha, cos beta (que já sabemos) e sin beta. Já temos sin alpha, mas vamos confirmá-la para usar na fórmula.

Passo 3

Como sabemos que sin alpha = 35, podemos encontrar cos alpha usando a identidade trigonométrica fundamental:
cos^2 alpha + sin^2 alpha = 1
Substituindo sin alpha:
cos^2 alpha + (35)^2 = 1 cos^2 alpha + 925 = 1 cos^2 alpha = 1 - 925 cos^2 alpha = 1625 cos alpha = pm 45
Mas como alpha está entre 0 e pi:
  • Se 0 < alpha < pi2 (primeiro quadrante), cos alpha é positivo.
  • Se pi2 < alpha < pi (segundo quadrante), cos alpha é negativo.
Como não temos mais informações sobre alpha, vamos considerar que cos alpha = 45 ou cos alpha = -45. No entanto, para prosseguir, vamos assumir que alpha está no primeiro quadrante, então cos alpha = 45.

Passo 4

Já sabemos que cos beta = 13 e que beta está no quarto quadrante ( 3pi/2 < beta < 2pi). No quarto quadrante:
  • O cosseno é positivo.
  • O seno é negativo.
Vamos encontrar sin beta usando a identidade trigonométrica:
cos^2 beta + sin^2 beta = 1
Substituindo cos beta:
(13)^2 + sin^2 beta = 1 19 + sin^2 beta = 1 sin^2 beta = 1 - 19 sin^2 beta = 89 sin beta = pm 2raiz23
Como beta está no quarto quadrante, sin beta é negativo:
sin beta = -2raiz23

Passo 5

Agora que temos todos os valores necessários:
cos alpha = 45 cos beta = 13 sin alpha = 35 sin beta = -2raiz23
Vamos substituir esses valores na fórmula:
cos (alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta
Substituindo:
cos (alpha - beta) = (45) (13) + (35) (-2raiz23)

Passo 6

Vamos calcular cada termo separadamente:
45 times 13 = 415 35 times (-2raiz23) = -6raiz215 = -2raiz25
Agora, somamos os dois resultados:
cos (alpha - beta) = 415 - 2raiz25
Para simplificar, colocamos os termos sobre o mesmo denominador:
415 - 6raiz215 = 4 - 6raiz215

Resposta

cos (alpha - beta) = 4 - 6raiz215

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