Sabendo que tg x=7 e pi<x<3 pi2. Calcule:
cos (x+pi3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular cos (x+pi3) sabendo que tg x = 7 e que x está no intervalo entre pi e 3pi2. Isso significa que x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades das funções trigonométricas e as fórmulas de adição de ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa tg x = 7. A tangente de um ângulo é definida como o quociente entre o seno e o cosseno desse ângulo:
tan x = sin xcos x = 7
Isso nos dá uma relação entre sin x e cos x que vamos usar mais adiante.

Passo 3

Sabemos que tan x = 7, então podemos imaginar um triângulo retângulo onde o cateto oposto a x é 7 e o cateto adjacente é 1 (já que tan x = 71). Para encontrar a hipotenusa h, usamos o Teorema de Pitágoras:
h = raiz7^2 + 1^2 = raiz49 + 1 = raiz50 = 5raiz2

Passo 4

Agora, podemos encontrar sin x e cos x:
sin x = opostohipotenusa = 75raiz2 = 7raiz210
cos x = adjacentehipotenusa = 15raiz2 = raiz210
Mas lembre-se que estamos no terceiro quadrante, onde o seno e o cosseno são negativos. Então:
sin x = -7raiz210
cos x = -raiz210

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da soma de ângulos para o cosseno:
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
Aqui, a = x e b = pi3. Já sabemos cos x e sin x, e conhecemos os valores de cos pi3 e sin pi3:
cos pi3 = 12
sin pi3 = raiz32

Passo 6

Substituindo na fórmula:
cos(x + pi3) = cos x cos pi3 - sin x sin pi3
= (-raiz210) (12) - (-7raiz210) (raiz32)

Passo 7

Vamos simplificar cada termo:
= -raiz220 + 7raiz620
Juntando os termos:
= 7raiz6 - raiz220

Resposta

Então, o valor de cos (x+pi3) é:
cos (x+pi3) = 7raiz6 - raiz220

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