Sabendo que
com
e
. Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o problema. A questão envolve funções trigonométricas, especificamente seno, cosseno e tangente. A gente sabe que
onde
e
com
. Nosso objetivo é calcular
. Para isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e conhecer as relações entre as funções seno, cosseno e tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o valor de
. Sabemos que
. Já temos
, então:
Como
,
pode ser positiva ou negativa. Mas como
está entre 0 e
, no primeiro e segundo quadrantes:
- No primeiro quadrante (
), o cosseno é positivo. - No segundo quadrante (
), o cosseno é negativo.
Como a questão não especifica em qual dos quadrantes
está, vamos considerar que pode ser qualquer um dentro desses intervalos.
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar
. Sabemos que
e que
, o que significa que
está no quarto quadrante. No quarto quadrante, o seno é negativo. Usando a identidade
:
Portanto,
Passo 4
Vamos agora calcular
e
.
E para
:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula da tangente da diferença:
Substituindo os valores encontrados:
Para simplificar, vamos considerar que
está no primeiro quadrante (coseno positivo). Assim:
Racionalizando o denominador:
Simplificando: