Sabendo que sen alpha=35 com 0<alpha<pi e cos beta=13 com 3 pi2<beta<2 pi. Calcule:
tg(alpha-beta)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o problema. A questão envolve funções trigonométricas, especificamente seno, cosseno e tangente. A gente sabe que sen alpha = 35 onde 0 < alpha < pi e cos beta = 13 com 3pi2 < beta < 2pi. Nosso objetivo é calcular tg(alpha - beta). Para isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e conhecer as relações entre as funções seno, cosseno e tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de cos alpha. Sabemos que sen^2 alpha + cos^2 alpha = 1. Já temos sen alpha = 35, então:
cos^2 alpha = 1 - (35)^2 = 1 - 925 = 1625
Como 0 < alpha < pi, cos alpha pode ser positiva ou negativa. Mas como alpha está entre 0 e pi, no primeiro e segundo quadrantes:
  • No primeiro quadrante ( 0 < alpha < pi2), o cosseno é positivo.
  • No segundo quadrante ( pi2 < alpha < pi), o cosseno é negativo.
Como a questão não especifica em qual dos quadrantes alpha está, vamos considerar que pode ser qualquer um dentro desses intervalos.
Então,
cos alpha = pm 45

Passo 3

Agora, vamos encontrar sin beta. Sabemos que cos beta = 13 e que 3pi2 < beta < 2pi, o que significa que beta está no quarto quadrante. No quarto quadrante, o seno é negativo. Usando a identidade sen^2 beta + cos^2 beta = 1:
sen^2 beta = 1 - (13)^2 = 1 - 19 = 89
Portanto,
sen beta = -2raiz23

Passo 4

Vamos agora calcular tg alpha e tg beta.
tg alpha = sen alphacos alpha = 35pm 45 = pm 34
E para tg beta:
tg beta = sen betacos beta = -2raiz2313 = -2raiz2

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da tangente da diferença:
tg(alpha - beta) = tg alpha - tg beta1 + tg alpha cdot tg beta
Substituindo os valores encontrados:
tg(alpha - beta) = pm 34 - (-2raiz2)1 + (pm 34)(-2raiz2) = pm 34 + 2raiz21 mp 3raiz22
Para simplificar, vamos considerar que alpha está no primeiro quadrante (coseno positivo). Assim:
tg(alpha - beta) = 34 + 2raiz21 - 3raiz22 = 3 + 8raiz24 - 6raiz2
Racionalizando o denominador:
tg(alpha - beta) = (3 + 8raiz2)(4 + 6raiz2)(4 - 6raiz2)(4 + 6raiz2) = 12 + 18raiz2 + 32raiz2 + 48 cdot 216 - 72 = 12 + 50raiz2 + 96-56 = 108 + 50raiz2-56 = -108 + 50raiz256
Simplificando:
tg(alpha - beta) = -27 + 12.5raiz214 approx -3.16

Resposta

tg(alpha - beta) approx -3,16

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