Sabendo que , calcule os determinantes a seguir. |llla & b & c 0 & 0 & 0 g & h & i|
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o determinante de uma matriz onde uma das linhas é toda zerada, e já sabemos que o determinante da matriz original é 3. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre propriedades de determinantes e como eles se comportam quando uma linha é modificada. Para resolver isso, vamos analisar como a presença de uma linha de zeros afeta o valor do determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que pode ser calculado a partir de uma matriz quadrada e que nos dá informações importantes, como se a matriz é invertível ou não. No caso de uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores.
Passo 3
Agora, observe que na matriz que queremos calcular o determinante, a segunda linha é composta apenas por zeros:
a & b & c 0 & 0 & 0 g & h & i
Quando uma linha (ou coluna) inteira de uma matriz é composta por zeros, o determinante dessa matriz é zero. Isso acontece porque o determinante mede o “volume” ou a “escala de transformação” representada pela matriz, e uma linha de zeros significa que a transformação está achatando tudo em uma dimensão inferior, resultando em um volume nulo.
Passo 4
Para ver isso de forma mais técnica, podemos usar a propriedade de linearidade do determinante. Se uma linha de uma matriz é uma combinação linear de outras linhas, o determinante é zero. No nosso caso, uma linha de zeros pode ser vista como uma combinação linear trivial (multiplicando todas as entradas por zero) das outras linhas, o que leva o determinante a ser zero.
Passo 5
Portanto, aplicando essa propriedade à matriz dada: