Sabendo que T(2,3)=(-1,2,0) e T(-1,3)=(-1,0,0) Calcule T(1,0) e T(0,1) e, portanto, T(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma transformação linear T que pega vetores do plano R^2 e os transforma em vetores no espaço R^3. Você nos deu duas imagens dessa transformação:
  • T(2,3) = (-1, 2, 0)
  • T(-1,3) = (-1, 0, 0)
Nosso objetivo é encontrar T(1,0) e T(0,1) , para depois expressar T(x, y) de forma geral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em uma transformação linear, podemos expressar qualquer vetor (x, y) como uma combinação linear de (1,0) e (0,1) . Ou seja:
T(x, y) = x cdot T(1,0) + y cdot T(0,1)
Então, se conseguirmos achar T(1,0) e T(0,1) , já teremos a expressão geral da transformação.

Passo 3

Agora, vamos usar as informações que temos para montar um sistema de equações. Sabemos que:
T(2,3) = 2 cdot T(1,0) + 3 cdot T(0,1) = (-1, 2, 0)
T(-1,3) = -1 cdot T(1,0) + 3 cdot T(0,1) = (-1, 0, 0)

Passo 4

Vamos chamar T(1,0) = (a, b, c) e T(0,1) = (d, e, f) . Substituindo nas equações:
2(a, b, c) + 3(d, e, f) = (-1, 2, 0)
-1(a, b, c) + 3(d, e, f) = (-1, 0, 0)
Isso nos dá um sistema de três equações para cada componente x , y , e z .

Passo 5

Vamos resolver para cada componente:
Componente x :
2a + 3d = -1 (1)
- a + 3d = -1 (2)
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
2a + 3d - (-a + 3d) = -1 - (-1)
3a = 0 Rightarrow a = 0
Substituindo a = 0 na equação (2):
0 + 3d = -1 Rightarrow d = -13
Componente y :
2b + 3e = 2 (3)
- b + 3e = 0 (4)
Subtraindo a equação (4) da equação (3):
2b + 3e - (-b + 3e) = 2 - 0
3b = 2 Rightarrow b = 23
Substituindo b = 23 na equação (4):
- 23 + 3e = 0 Rightarrow 3e = 23 Rightarrow e = 29
Componente z :
2c + 3f = 0 (5)
- c + 3f = 0 (6)
Subtraindo a equação (6) da equação (5):
2c + 3f - (-c + 3f) = 0 - 0
3c = 0 Rightarrow c = 0
Substituindo c = 0 na equação (6):
0 + 3f = 0 Rightarrow f = 0

Passo 6

Agora que encontramos os valores:
T(1,0) = (a, b, c) = (0, 23, 0)
T(0,1) = (d, e, f) = (-13, 29, 0)

Passo 7

Finalmente, podemos escrever a transformação geral T(x, y) usando a combinação linear:
T(x, y) = x cdot T(1,0) + y cdot T(0,1) = x cdot (0, 23, 0) + y cdot (-13, 29, 0)
Distribuindo:
T(x, y) = (0 cdot x + (-13) y, 23 x + 29 y, 0)
Simplificando:
T(x, y) = (-13 y, 23 x + 29 y, 0)

Resposta

A transformação linear é dada por:
T(x, y) = (-13 y, 23 x + 29 y, 0)

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