Sabendo que
e
Calcule
e
e, portanto,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma transformação linear
que pega vetores do plano
e os transforma em vetores no espaço
. Você nos deu duas imagens dessa transformação:
Nosso objetivo é encontrar
e
, para depois expressar
de forma geral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, em uma transformação linear, podemos expressar qualquer vetor
como uma combinação linear de
e
. Ou seja:
Então, se conseguirmos achar
e
, já teremos a expressão geral da transformação.
Passo 3
Agora, vamos usar as informações que temos para montar um sistema de equações. Sabemos que:
Passo 4
Vamos chamar
e
. Substituindo nas equações:
Isso nos dá um sistema de três equações para cada componente
,
, e
.
Passo 5
Vamos resolver para cada componente:
Componente
:
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Substituindo
na equação (2):
Componente
:
Subtraindo a equação (4) da equação (3):
Substituindo
na equação (4):
Componente
:
Subtraindo a equação (6) da equação (5):
Substituindo
na equação (6):
Passo 6
Agora que encontramos os valores:
Passo 7
Finalmente, podemos escrever a transformação geral
usando a combinação linear:
Distribuindo:
Simplificando:
Resposta
A transformação linear é dada por: