Sabendo que cotg x=247 e pi<x<3 pi2, calcule o valor da expressão:
y=tg x cdot cos x(1+cos x)(1-cos x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a expressão:
y = tg x cdot cos x(1 + cos x)(1 - cos x)
Sabendo que cotg x = 247 e que x está no terceiro quadrante ( pi < x < 3pi2). Para isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria, como identidades trigonométricas e relações entre as funções seno, cosseno e tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a cotg x com a tg x. Sabemos que:
cotg x = 1tg x
Então, se cotg x = 247, temos:
tg x = 724

Passo 3

Agora, vamos determinar os sinais das funções trigonométricas no terceiro quadrante. No terceiro quadrante ( pi < x < 3pi2):
  • sin x é negativo
  • cos x é negativo
  • tg x é positivo (porque é sin xcos x e dois negativos dão positivo)

Passo 4

Vamos usar a relação pitagórica para encontrar o valor de cos x. Sabemos que:
1 + tg^2 x = 1cos^2 x
Primeiro, calculamos tg^2 x:
tg^2 x = (724)^2 = 49576
Então:
1 + 49576 = 625576 = 1cos^2 x
Invertendo, temos:
cos^2 x = 576625 implies cos x = -2425
(O sinal é negativo porque cos x é negativo no terceiro quadrante.)

Passo 5

Agora que temos tg x = 724 e cos x = -2425, vamos substituir esses valores na expressão de y:
y = tg x cdot cos x(1 + cos x)(1 - cos x)
Substituindo:
y = (724) cdot (-2425)(1 - 2425)(1 + 2425)

Passo 6

Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
724 cdot -2425 = -725
Denominador:
(1 - 2425)(1 + 2425) = (125) (4925) = 49625

Passo 7

Agora, substituímos os valores simplificados na expressão de y:
y = -725 49625 = -725 times 62549
Simplificando:
y = -7 times 62525 times 49 = -43751225 = -257

Resposta

O valor de y é -257.

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