Sabendo que F(x)=f \circ g(x). Determine quem são as funções f e g em cada caso.
F(x)=\cos ^{2}(x).

Passo 1

O enunciado dá a função F definida por F(x)=\cos^{2}(x) e pede para encontrar funções f e g tais que F=f\circ g.
Informações que temos:
  • A função composta deve satisfazer f(g(x))=F(x)=\cos^{2}(x).
  • Note que \cos^{2}(x) significa \bigl(\cos(x)\bigr)^{2} (ou seja, primeiro calcula-se \cos(x) e depois eleva-se ao quadrado).

Passo 2

O que significa f\circ g?
  • Por definição, f\circ g é a função que aplica primeiro g a x e depois aplica f ao resultado. Em notação: (f\circ g)(x)=f(g(x)).
  • Para decompor F(x) em f(g(x)) devemos identificar qual é a operação interna (aquela que depende diretamente de x) e qual é a operação externa (aquela aplicada ao resultado da operação interna).

Passo 3

Identificar inner/outer em F(x)=\bigl(\cos(x)\bigr)^{2}:
  • A operação interna é x \mapsto \cos(x). Isso sugere escolher g(x)=\cos(x).
  • A operação externa é elevar ao quadrado o resultado da operação interna. Isso sugere escolher f(u)=u^{2}, onde u é uma variável genérica (um “placeholder”) que representa o valor g(x).

Passo 4

Verificação explícita (substituição passo a passo):
  • Definindo g(x)=\cos(x) e f(u)=u^{2}, calculamos f(g(x)) = f\bigl(\cos(x)\bigr) = \bigl(\cos(x)\bigr)^{2} = \cos^{2}(x),que é exatamente F(x). Portanto a decomposição funciona.
  • Observação sobre domínios/contradições: g tem domínio \mathbb{R} e imagem [-1,1]; f(u)=u^{2} está definida para todo u\in\mathbb{R}, então não há problema de compatibilidade.

Passo 5

Outras observações e alternativas rápidas (sem complicar):
  • Existe sempre a decomposição trivial g(x)=x e f(u)=\cos^{2}(u), mas é menos útil didaticamente.
  • A escolha g(x)=\cos(x) e f(u)=u^{2} é a mais natural e a que normalmente se espera numa prova, porque separa claramente a operação interna (a trigonométrica) da externa (a potência).

Resposta

g(x)=\cos(x),\quad f(u)=u^{2}

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