Sabendo que
. Determine quem são as funções
e
em cada caso.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para encontrar funções
e
tais que
.
Informações que temos:
Informações que temos:
- A função composta deve satisfazer
. - Note que
significa (ou seja, primeiro calcula-se e depois eleva-se ao quadrado).
Passo 2
O que significa
?
- Por definição,
é a função que aplica primeiro a e depois aplica ao resultado. Em notação: . - Para decompor
em devemos identificar qual é a operação interna (aquela que depende diretamente de ) e qual é a operação externa (aquela aplicada ao resultado da operação interna).
Passo 3
Identificar inner/outer em
:
- A operação interna é
. Isso sugere escolher . - A operação externa é elevar ao quadrado o resultado da operação interna. Isso sugere escolher
, onde é uma variável genérica (um “placeholder”) que representa o valor .
Passo 4
Verificação explícita (substituição passo a passo):
- Definindo
e , calculamos que é exatamente . Portanto a decomposição funciona. - Observação sobre domínios/contradições:
tem domínio e imagem ; está definida para todo , então não há problema de compatibilidade.
Passo 5
Outras observações e alternativas rápidas (sem complicar):
- Existe sempre a decomposição trivial
e , mas é menos útil didaticamente. - A escolha
e é a mais natural e a que normalmente se espera numa prova, porque separa claramente a operação interna (a trigonométrica) da externa (a potência).