Sabendo que F(x)=f \circ g(x). Determine quem são as funções f e g em cada caso.
F(x)=\operatorname{sec} \left(x^{2}\right) \operatorname{tg}\left(x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função composta F(x)=f\circ g(x) e informa explicitamente o valor de F:
F(x)=\operatorname{sec}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,\tan\!\bigl(x^{2}\bigr).
A tarefa é determinar funções f e g (funções de uma única variável) tais que F(x)=f(g(x)).
Informações relevantes que aparecem no enunciado:
  • A expressão x^{2} aparece dentro de ambas as funções trigonométricas \operatorname{sec} e \tan.
  • Deseja-se escrever F como composição f(g(x)).

Passo 2

Lembrete rápido e didático sobre composição: dizer que F=f\circ g significa que primeiro aplicamos g a x (obtemos um valor intermediário), e em seguida aplicamos f a esse resultado. Em notação:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
Aqui g é a função interna (aquela que recebe x) e f é a função externa (aquela que recebe o resultado de g).

Passo 3

Para identificar g é útil procurar a “parte que se repete” como entrada das funções externas. Na expressão dada, tanto \operatorname{sec} quanto \tan têm como entrada exatamente x^{2}. Isso sugere fortemente que a função interna g seja
g(x)=x^{2},
pois g(x) fornece o argumento que aparece dentro das funções trigonométricas.

Passo 4

Uma vez escolhido g(x)=x^{2}, a função externa f deve ser uma função de uma variável (vamos usar a letra \,u\, para essa variável) tal que, ao substituir u=g(x)=x^{2}, recupere-se F(x). Portanto exigimos
f\bigl(g(x)\bigr)=f\bigl(u\bigr)\Big|_{u=g(x)}=\operatorname{sec}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,\tan\!\bigl(x^{2}\bigr).
Isto leva naturalmente a definir f por
f(u)=\operatorname{sec}(u)\,\tan(u),
de modo que ao substituir u=g(x)=x^{2} obteremos exatamente F(x).

Passo 5

Verificação explícita (passo a passo): pegar as definições encontradas e compô-las.
f\bigl(g(x)\bigr)=f\bigl(x^{2}\bigr)=\operatorname{sec}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,\tan\!\bigl(x^{2}\bigr)=F(x).
Logo a decomposição funciona corretamente.

Passo 6

Observações adicionais úteis para prova:
  • É comum escolher a função interna como a expressão que aparece dentro de funções mais externas (a “entrada” comum). Aqui foi x^{2}.
  • A variável usada em f (aqui u) é apenas um símbolo dummy; poderia ser t ou qualquer outra letra, desde que se entenda que f é função de uma variável e depois se substitui u=g(x).
  • Em geral a decomposição não é única (por exemplo, poderia escolher-se g(x)=x e f(u)=\operatorname{sec}(u^{2})\tan(u^{2})), mas a escolha g(x)=x^{2} e f(u)=\operatorname{sec}(u)\tan(u) é a mais natural e a mais útil em muitos problemas (por exemplo, ao usar regra da cadeia para derivar).

Resposta

f(u)=\operatorname{sec}(u)\,\tan(u)
g(x)=x^{2}

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