Sabendo que y define implicitamente uma funçĩo de x, determine d yd x, onde
x^3-3 x y^2+y^3=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a derivada de y em relação a x , ou seja, dydx , a partir da equação x^3 - 3xy^2 + y^3 = 5 . Para resolver isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica útil quando y não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x . Lembre-se que y é uma função de x , então quando derivamos termos com y , precisamos aplicar a regra da cadeia.
ddx(x^3) - ddx(3xy^2) + ddx(y^3) = ddx(5)

Passo 3

Vamos derivar cada termo individualmente:
  1. Derivada de x^3 :
ddx(x^3) = 3x^2
  1. Derivada de 3xy^2 :
    Aqui usamos a regra do produto, já que temos x e y^2 multiplicando:
ddx(3xy^2) = 3 ( ddx(x) cdot y^2 + x cdot ddx(y^2) ) = 3 (1 cdot y^2 + x cdot 2y dydx) = 3y^2 + 6xy dydx
  1. Derivada de y^3 :
    Aqui usamos a regra da cadeia:
ddx(y^3) = 3y^2 dydx
  1. Derivada de 5:
    Como 5 é uma constante, sua derivada é 0:
ddx(5) = 0

Passo 4

Agora, substituímos todas as derivadas na equação original:
3x^2 - (3y^2 + 6xy dydx) + 3y^2 dydx = 0
Vamos simplificar:
3x^2 - 3y^2 - 6xy dydx + 3y^2 dydx = 0

Passo 5

Agora, queremos isolar dydx . Vamos agrupar os termos que contêm dydx :
-6xy dydx + 3y^2 dydx = -3x^2 + 3y^2
Fatorando dydx :
dydx (-6xy + 3y^2) = -3x^2 + 3y^2

Passo 6

Finalmente, isolamos dydx :
dydx = -3x^2 + 3y^2-6xy + 3y^2 = 3(y^2 - x^2)3y^2 - 6xy
Podemos simplificar dividindo o numerador e denominador por 3:
dydx = y^2 - x^2y^2 - 2xy

Resposta

A derivada de y em relação a x é:
dydx = y^2 - x^2y^2 - 2xy

Exercícios relacionados