Sabendo que
define implicitamente uma funçĩo de
, determine
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, a partir da equação
. Para resolver isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica útil quando
não está isolada.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivamos termos com
, precisamos aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos derivar cada termo individualmente:
- Derivada de
:
-
Derivada de
: Aqui usamos a regra do produto, já que temose multiplicando:
-
Derivada de
: Aqui usamos a regra da cadeia:
-
Derivada de 5:Como 5 é uma constante, sua derivada é 0:
Passo 4
Agora, substituímos todas as derivadas na equação original:
Vamos simplificar:
Passo 5
Agora, queremos isolar
. Vamos agrupar os termos que contêm
:
Fatorando
:
Passo 6
Finalmente, isolamos
:
Podemos simplificar dividindo o numerador e denominador por 3:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: