Sabendo que o det \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 4 \\\\ 1 & 3 & 9 \\\\ 1 & -1 & 1\end{array}\right]=12, calcule os seguintes determinantes:
\operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 4 \\\\ 1 & 3 & 9 \\\\ 2 & 2 & 10\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá
\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\\\ 1 & 3 & 9\\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}=12
e pede
\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\\\ 1 & 3 & 9\\\\ 2 & 2 & 10 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é determinante e operações elementares em linhas.

Passo 2

Denotemos a matriz original por A e a matriz pedida por B. Compare a terceira linha de B com as linhas de A:
\ell_3(B)=(2,2,10) e
\ell_2(A)+\ell_3(A)=(1,3,9)+(1,-1,1)=(2,2,10).
Logo
\ell_3(B)=\ell_2(A)+\ell_3(A).

Passo 3

Pela propriedade dos determinantes, substituir uma linha \ell_i por \ell_i + c\,\ell_j (com c escalar e i\neq j) não altera o valor do determinante. Aqui fizemos
\ell_3(A)\mapsto \ell_3(A)+1\cdot\ell_2(A)
para obter B. Portanto
\det(B)=\det(A)=12.

Resposta

12

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