Utilize a propriedade dos determinantes para provar que
\operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\\\ 2 & -1 & 1 \\\\ 3 & 0 & 3\end{array}\right]=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 2 & -1 & 1\\\\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}
tem \det(A)=0. O conteúdo usado será a propriedade de que adicionar combinações lineares de uma linha a outra não altera o valor do determinante e o fato de que, se uma linha fica nula, o determinante é zero.

Passo 2

Observamos que a terceira linha de A é a soma da primeira com a segunda:
\text{L}_3 = \text{L}_1 + \text{L}_2,
pois
(1,1,2)+(2,-1,1)=(3,0,3).

Passo 3

Usamos a operação de linha que substitui \text{L}_3 por \text{L}_3 - \text{L}_1 - \text{L}_2. Essa operação não altera o determinante de A. Após ela, a terceira linha passa a ser
(3,0,3) - (1,1,2) - (2,-1,1) = (0,0,0).

Passo 4

A matriz transformada tem uma linha toda zero; portanto seu determinante é
0.
Como a operação não alterou o valor do determinante, concluímos que \det(A)=0.

Resposta

0

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