Utilize a propriedade dos determinantes para provar que
\operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}a^{2} & a b & a c \\\ a b & b^{2} & b c \\\ a c & b c & c^{2}\end{array}\right]=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz
M = \begin{pmatrix} a^{2} & a b & a c\\\ a b & b^{2} & b c\\\ a c & b c & c^{2} \end{pmatrix}
é zero. O conteúdo principal aqui é usar a propriedade de determinantes que diz:
“Se as colunas (ou as linhas) de uma matriz são linearmente dependentes, então o determinante vale zero.”

Passo 2

Vamos chamar de C_{1},C_{2},C_{3} as colunas de M:
C_{1}=\begin{pmatrix}a^{2}\a b\a c\end{pmatrix},\quad C_{2}=\begin{pmatrix}a b\b^{2}\b c\end{pmatrix},\quad C_{3}=\begin{pmatrix}a c\b c\c^{2}\end{pmatrix}.
Mostramos que C_{1} e C_{2} são proporcionais, ou seja, existe combinação linear não trivial que os anula. De fato, calcule
b\,C_{1}-a\,C_{2} = b\begin{pmatrix}a^{2}\a b\a c\end{pmatrix} -a\begin{pmatrix}a b\b^{2}\b c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b\,a^{2}-a\,a b\\\ b\,(a b)-a\,b^{2}\\\ b\,(a c)-a\,b c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Isso mostra que b\,C_{1}=a\,C_{2}, logo C_{1} e C_{2} são linearmente dependentes.

Passo 3

Como uma combinação linear não trivial de colunas de M dá o vetor zero, as colunas são linearmente dependentes. Pela propriedade de determinantes, quando há dependência linear entre colunas (ou linhas), o determinante da matriz é
\det(M)=0.

Resposta

\det\begin{pmatrix} a^{2} & a b & a c\\\ a b & b^{2} & b c\\\ a c & b c & c^{2} \end{pmatrix} =0.

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