Utilize a propriedade dos determinantes para provar que \operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}a^{2} & a b & a c \\\ a b & b^{2} & b c \\\ a c & b c & c^{2}\end{array}\right]=0.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz
M = \begin{pmatrix} a^{2} & a b & a c\\\ a b & b^{2} & b c\\\ a c & b c & c^{2} \end{pmatrix}
é zero. O conteúdo principal aqui é usar a propriedade de determinantes que diz:
“Se as colunas (ou as linhas) de uma matriz são linearmente dependentes, então o determinante vale zero.”
Passo 2
Vamos chamar de C_{1},C_{2},C_{3} as colunas de M:
Isso mostra que b\,C_{1}=a\,C_{2}, logo C_{1} e C_{2} são linearmente dependentes.
Passo 3
Como uma combinação linear não trivial de colunas de M dá o vetor zero, as colunas são linearmente dependentes. Pela propriedade de determinantes, quando há dependência linear entre colunas (ou linhas), o determinante da matriz é
\det(M)=0.
Resposta
\det\begin{pmatrix} a^{2} & a b & a c\\\ a b & b^{2} & b c\\\ a c & b c & c^{2} \end{pmatrix} =0.