Sabendo-se que em um elevador hidráulico que usa o princípio de Pascal o trabalho deve se conservar, mostre que a o deslocamento d na área menor é dada por
d=D \frac{A}{a},
onde D é o deslocamento na área maior A, e a representa a área menor.

Passo 1

O enunciado trata de um elevador hidráulico em que a pressão gerada no pistão menor é transmitida integralmente ao pistão maior (princípio de Pascal) e afirma que o trabalho de entrada deve igualar o trabalho de saída (conservação de energia). Vamos usar duas ideias: 1) a igualdade de pressões nos pistões e 2) a conservação do trabalho mecânico W=F\cdot d.

Passo 2

Pelo princípio de Pascal, a pressão no pistão menor vale a mesma do pistão maior. Assim, se F e a são a força e a área no pistão menor, e F' e A são a força e a área no pistão maior, temos
\frac{F}{a} \;=\;\frac{F'}{A}
Logo,
F \;=\;\frac{a}{A}\,F'.

Passo 3

Pela conservação do trabalho, o trabalho de entrada no pistão menor W_{\text{in}}=F\,d deve igualar o trabalho de saída no pistão maior W_{\text{out}}=F'\,D. Então
F\,d \;=\;F'\,D.
Substituindo F=\tfrac{a}{A}F' nessa igualdade,
\frac{a}{A}F'\,d \;=\;F'\,D
Corta-se F'\neq0 e isola-se d:
\frac{a}{A}\,d = D \quad\Longrightarrow\quad d = D\,\frac{A}{a}.

Resposta

d = D\,\frac{A}{a}.

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