Transformar as equações polares para cartesianas:
r=2(sen theta+cos theta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação em coordenadas polares que é r = 2(sin theta + cos theta) . Nosso objetivo aqui é transformar essa equação para o sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, em termos de x e y . Para isso, vamos precisar lembrar das relações entre coordenadas polares e cartesianas, como x = r cos theta e y = r sin theta .

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os dois lados da equação original por r . Isso nos ajuda a conectar r com x e y . Então temos:
r cdot r = 2 r (sin theta + cos theta)
Que simplifica para:
r^2 = 2r sin theta + 2r cos theta

Passo 3

Sabemos que r^2 = x^2 + y^2 nas coordenadas cartesianas. Além disso, r sin theta = y e r cos theta = x . Vamos substituir essas relações na equação:
x^2 + y^2 = 2y + 2x

Passo 4

Agora, vamos reorganizar essa equação para deixar tudo em um lado e zero no outro:
x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0

Passo 5

Para identificar melhor a forma da equação, podemos completar o quadrado para x e para y :
  • Para x : x^2 - 2x vira (x - 1)^2 - 1
  • Para y : y^2 - 2y vira (y - 1)^2 - 1
Substituindo na equação:
(x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 = 0
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 2 = 0

Passo 6

Finalmente, isolamos os termos constantes:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2

Resposta

A equação polar r = 2(sin theta + cos theta) transformada para coordenadas cartesianas é:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2

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