Sabendo que a equação polar é dada por
, pede-se:
a. Determine a equação cartesiana.
a. Determine a equação cartesiana.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação em coordenadas polares: $ r = 4\cos(2\theta) $. Nosso objetivo é transformar essa equação para o sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, em termos de $ x $ e $ y $. Para isso, vamos precisar usar algumas relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as fórmulas que conectam as coordenadas polares ($ r, \theta
x, y $):
Também temos que:
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação dada:
Queremos expressar tudo em termos de $ x $ e $ y $. Para isso, precisamos lidar com o termo $ \cos(2\theta) $. Lembra da identidade trigonométrica para o cosseno do ângulo duplo?
Passo 4
Vamos substituir essa identidade na equação original:
Agora, queremos expressar $ \cos\theta $ em termos de $ x $ e $ r $. Sabemos que:
Passo 5
Substituindo $ \cos\theta = \frac{x}{r} $ na equação:
Para eliminar os denominadores, vamos multiplicar ambos os lados por $ r^2 $:
Passo 6
Lembrando que $ r^2 = x^2 + y^2 $, podemos substituir $ r^3 $ por $ r(x^2 + y^2) $:
Passo 7
Distribuindo $ r $ e simplificando:
Passo 8
Vamos isolar os termos com $ r $:
Fatorando $ r $:
Substituindo $ r = \sqrt{x^2 + y^2} $:
Resposta
A equação cartesiana correspondente é: