Sabendo que a equação polar é dada por r=4(cos 2 theta), pede-se:
a. Determine a equação cartesiana.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação em coordenadas polares: $ r = 4\cos(2\theta) $. Nosso objetivo é transformar essa equação para o sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, em termos de $ x $ e $ y $. Para isso, vamos precisar usar algumas relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas que conectam as coordenadas polares ($ r, \theta r, theta x, y $):
x, y
Também temos que:
x = rcostheta e y = rsintheta

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação dada:
r = 4cos(2theta)
Queremos expressar tudo em termos de $ x $ e $ y $. Para isso, precisamos lidar com o termo $ \cos(2\theta) $. Lembra da identidade trigonométrica para o cosseno do ângulo duplo?
x

Passo 4

Vamos substituir essa identidade na equação original:
r = 4(2cos^2theta - 1) = 8cos^2theta - 4
Agora, queremos expressar $ \cos\theta $ em termos de $ x $ e $ r $. Sabemos que:
costheta

Passo 5

Substituindo $ \cos\theta = \frac{x}{r} $ na equação:
costheta = xr
Para eliminar os denominadores, vamos multiplicar ambos os lados por $ r^2 $:
r = 8(xr)^2 - 4 = 8(x^2r^2) - 4

Passo 6

Lembrando que $ r^2 = x^2 + y^2 $, podemos substituir $ r^3 $ por $ r(x^2 + y^2) $:
r^2 = x^2 + y^2

Passo 7

Distribuindo $ r $ e simplificando:
r
r x^2 + r y^2 = 8x^2 - 4x^2 - 4y^2

Passo 8

Vamos isolar os termos com $ r $:
r
Fatorando $ r $:
r x^2 + r y^2 + 4y^2 = 4x^2
Substituindo $ r = \sqrt{x^2 + y^2} $:
r

Resposta

A equação cartesiana correspondente é:
raizx^2 + y^2(x^2 + y^2) + 4y^2 = 4x^2

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