1. Sabendo-se que f^prime(x)=3 x^2 e que a reta y=3 x é tangente ao gráfico de f em algum ponto, encontre f(x). Observação: Você poderá encontrar mais de uma função com essas características.

Passo 1

O enunciado dá f'(x)=3x^2 e afirma que a reta y=3x é tangente ao gráfico de f em algum ponto. Vamos usar integração para obter f(x) e depois impor a condição geométrica de tangência.

Passo 2

Integrando f'(x)=3x^2, obtemos
f(x)=integral 3x^2,dx = x^3 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

Se a reta y=3x é tangente a f em x=a, seu coeficiente angular deve coincidir com f'(a). Logo
f'(a)=3a^2 =3 Longrightarrow a^2=1 Longrightarrow a=pm1

Passo 4

A equação da reta tangente a f em x=a é
y = f'(a),(x-a) + f(a) = 3(x-a) + l(a^3 + Cr)
Como essa reta deve ser exatamente y=3x, igualamos
3(x-a) + (a^3 + C) = 3x Longrightarrow -3a + a^3 + C = 0 Longrightarrow C = 3a - a^3
Para a=1 vem C = 3cdot1 - 1^3 = 2.
Para a=-1 vem C = 3(-1) - (-1)^3 = -3 +1 = -2.

Resposta

As funções que satisfazem as condições são
f(x) = x^3 + 2 e f(x) = x^3 - 2

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