Sabendo que f: R R é contínua e que f(2) f(3)<0, podemos afirmar que (escolha a melhor):
f admite raiz
Existe x neq 2 tal que f(x)=f(2)
As outras alternativas estão incorretas square f(1)>0
f é crescente ou decrescente square f(1)=0

Passo 1

Então, a gente tem uma função contínua f: R R e sabe que o produto f(2) times f(3) é menor que zero. Nosso objetivo aqui é descobrir qual das alternativas dadas é a correta com base nessas informações. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa f(2) times f(3) < 0. Isso quer dizer que os valores de f em 2 e em 3 têm sinais opostos. Ou seja, se f(2) for positivo, f(3) será negativo, ou vice-versa.

Passo 3

Agora, como a função f é contínua no intervalo entre 2 e 3, podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado, então ela assume todos os valores entre f(a) e f(b) nesse intervalo.

Passo 4

Dado que f(2) e f(3) têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um ponto c entre 2 e 3 onde f(c) = 0. Isso significa que a função f tem uma raiz nesse intervalo.

Passo 5

Vamos analisar as alternativas:
  1. f admite raiz: Como mostramos, existe um c em (2,3) tal que f(c) = 0. Então, essa alternativa está correta.
  2. Existe x neq 2 tal que f(x) = f(2): Não temos informação suficiente para afirmar isso.
  3. As outras alternativas estão incorretas: Ainda vamos verificar as próximas opções.
  4. f(1) > 0: Não há informações sobre f(1).
  5. f é crescente ou decrescente: A continuidade não garante que a função seja estritamente crescente ou decrescente.
  6. f(1) = 0: Novamente, não temos dados sobre f(1).

Resposta

A alternativa correta é: f admite raiz

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