1. Sabendo-se que f(x)=(x-3)(x+2) é uma função real, determine:
    a) Os zeros da função f(x)
    b) As coordenadas do Vértice da função f(x)
    c) Esboce o gráfico de f(x)
    d) Faça o estudo do sinal para f(x)

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática f(x)=(x-3)(x+2) e pede:
– a) zeros da função,
– b) coordenadas do vértice,
– c) esboço do gráfico,
– d) estudo do sinal.
Para isso vamos usar fatoração para achar os zeros, expandir para obter os coeficientes e aplicar a fórmula do vértice, depois esboçar a parábola e analisar o produto de fatores para o sinal.

Passo 2

Para achar os zeros basta resolver ,(x-3)(x+2)=0,. Isso ocorre quando
x-3=0ou x+2=0,
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x=3ou x=-2

Passo 3

Primeiro expandimos para identificar a, b e c:
f(x)=(x-3)(x+2)=x^2 - x - 6,
então a=1, b=-1, c=-6. O vértice (xv,yv) de ax^2+bx+c satisfaz
xv = -b2a = --12cdot1 = 12
O valor de yv é f(xv):
yv = l(tfrac12r)^2 - tfrac12 -6 = tfrac14 - tfrac12 -6 = -6,25
Portanto o vértice é l(tfrac12,,-6,25r).

Passo 4

Para esboçar o gráfico note que é uma parábola com a=1>0 (abre para cima), eixo de simetria x=tfrac12, zeros em (-2,0) e (3,0), e intercepto em y quando x=0:
f(0)= (0-3)(0+2) = -6,
isto é (0,-6). O vértice l(tfrac12,-6,25r) fica ligeiramente abaixo de (0,-6). Com esses pontos desenha-se a forma típica de Y invertido virada para cima.

Passo 5

O sinal de f(x)=(x-3)(x+2) vem do produto dos fatores:
Para x<-2: x-3<0 e x+2<0 Rightarrow produto positivo.
Para -2<x<3: um fator é negativo e o outro positivo Rightarrow produto negativo.
Para x>3: x-3>0 e x+2>0 Rightarrow produto positivo.
Em x=-2 ou x=3 a função vale zero.

Resposta

a) x=-2 e x=3.
b) Vértice em l(tfrac12, -6,25r).
c) Parábola com concavidade para cima, zeros em (-2,0) e (3,0), intercepto em (0,-6) e eixo de simetria x=tfrac12.
d) f(x)>0 se x<-2 ou x>3; f(x)<0 se -2<x<3; f(x)=0 em x=-2,3.

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