Sejam X1, X2, ldots variáveis aleatórias i.i.d. com função geradora de momento M(t) para |t| para algum t0>1. Defina Sn=X1+cdots+Xn e Mn(t) a função geradora de momento de Sn / n.
a) Encontre Mn(t) em função de M(t).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, chamadas de $ X_{1}, X_{2}, ··· $. Cada uma dessas variáveis tem uma função geradora de momentos $ M(t) $ que é finita para $ |t| < t_{0} $, onde $ t_{0} > 1 $. Definimos $ S_{n} = X_{1} + \cdots + X_{n} $ e queremos encontrar a função geradora de momentos de $ \frac{S_{n}}{n} $, que chamamos de $ M_{n}(t) $.
Então, basicamente, estamos trabalhando com funções geradoras de momentos e precisamos relacionar $ M_{n}(t) $ com $ M(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função geradora de momentos. A função geradora de momentos (FGM) de uma variável aleatória $ Y $ é definida como:
Y
Isso significa que para encontrar a FGM de $ \frac{S_{n}}{n} $, precisamos calcular $ \mathbb{E}\left[e^{t \cdot \frac{S_{n}}{n}}\right] $.

Passo 3

Vamos expressar $ S_{n} $ em termos das $ X_{i} $:
Sn
Portanto,
Xi

Passo 4

Agora, substituímos $ \frac{S_{n}}{n} $ na expressão da FGM:
Snn

Passo 5

Como $ S_{n} = X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{n} $, podemos escrever:
Sn = X1 + X2 + cdots + Xn

Passo 6

Como as $ X_{i} $ são independentes, o valor esperado do produto é o produto dos valores esperados. Ou seja,
Xi

Passo 7

Como todas as variáveis $ X_{i} $ são identicamente distribuídas, cada valor esperado é igual a $ M\left(\frac{t}{n}\right) $. Portanto,
Xi

Resposta

A função geradora de momentos $ M_{n}(t) $ é dada por:
Mn(t)

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