Sejam
variáveis aleatórias i.i.d. com função geradora de momento
para
para algum
. Defina
e
a função geradora de momento de
.
a) Encontre
em função de
.
a) Encontre
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, chamadas de $ X_{1}, X_{2}, ··· $. Cada uma dessas variáveis tem uma função geradora de momentos $ M(t) $ que é finita para $ |t| < t_{0} $, onde $ t_{0} > 1 $. Definimos $ S_{n} = X_{1} + \cdots + X_{n} $ e queremos encontrar a função geradora de momentos de $ \frac{S_{n}}{n} $, que chamamos de $ M_{n}(t) $.
Então, basicamente, estamos trabalhando com funções geradoras de momentos e precisamos relacionar $ M_{n}(t) $ com $ M(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função geradora de momentos. A função geradora de momentos (FGM) de uma variável aleatória $ Y $ é definida como:
Isso significa que para encontrar a FGM de $ \frac{S_{n}}{n} $, precisamos calcular $ \mathbb{E}\left[e^{t \cdot \frac{S_{n}}{n}}\right] $.
Passo 3
Vamos expressar $ S_{n} $ em termos das $ X_{i} $:
Portanto,
Passo 4
Agora, substituímos $ \frac{S_{n}}{n} $ na expressão da FGM:
Passo 5
Como $ S_{n} = X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{n} $, podemos escrever:
Passo 6
Como as $ X_{i} $ são independentes, o valor esperado do produto é o produto dos valores esperados. Ou seja,
Passo 7
Como todas as variáveis $ X_{i} $ são identicamente distribuídas, cada valor esperado é igual a $ M\left(\frac{t}{n}\right) $. Portanto,
Resposta
A função geradora de momentos $ M_{n}(t) $ é dada por: