Uma variável aleatória Xn tem distribuição chi^2 (chiquadrado) com n graus de liberdade se Xn tem a mesma distribuição de
Z1^2+cdots+Zn^2
onde Z1, ldots, Zn são variáveis i.i.d. com distribuição normal padrão. Sabendo disso, faça o que se pede
c) Encontre o primeiro e segundo momentos de Xn.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre uma variável aleatória $ X_n $ que segue a distribuição qui-quadrado ($ \chi^{2} $) com $ n $ graus de liberdade. Basicamente, isso significa que $ X_n $ é a soma dos quadrados de $ n $ variáveis normais padrão independentes. Hoje, vamos encontrar o primeiro e o segundo momentos dessa distribuição, ou seja, $ E[X_n] $ e $ E[X_n^2] $. Para isso, vamos usar propriedades das variáveis normais e das distribuições $ \chi^{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são momentos. O primeiro momento é simplesmente a média, $ E[X_n] $, e o segundo momento é $ E[X_n^2] $, que nos dá uma ideia da variabilidade da distribuição. Para encontrar esses valores, precisamos lembrar que se $ Z_i $ são variáveis normais padrão ($ \mu = 0 $, $ \sigma^2 = 1 $), então $ Z_i^2 $ segue uma distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade.

Passo 3

Como $ X_n = Z_1^2 + Z_2^2 + \dots + Z_n^2 $, podemos usar a propriedade da linearidade da esperança para calcular $ E[X_n] $:
Xn = Z1^2 + Z2^2 + dots + Zn^2
Sabemos que para uma variável normal padrão, $ E[Z_i^2] = 1 $, então:
E[Xn]

Passo 4

Agora, vamos calcular o segundo momento, $ E[X_n^2] $. Primeiro, expandimos $ X_n^2 $:
E[Xn^2]
Então, a esperança de $ X_n^2 $ será:
Xn^2

Passo 5

Sabemos que para uma variável normal padrão, $ E[Z_i^4] = 3 $ (isso vem das propriedades dos momentos da distribuição normal). Além disso, como as variáveis são independentes, $ E[Z_i^2 Z_j^2] = E[Z_i^2] \times E[Z_j^2] = 1 \times 1 = 1 $. Portanto:
E[Zi^4] = 3

Resposta

O primeiro momento de $ X_n $ é $ E[X_n] = n $ e o segundo momento é $ E[X_n^2] = n^2 + 2n $.

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