(Transformação de Rotação) Determine a transformção linear que leva o vetor v in R^2 em um novo vetor v^prime que é obtido por meio de uma rotação de theta graus do vetor v.

Passo 1

O enunciado pede a transformação linear em R^2 que leva cada vetor v a um vetor v' obtido girando v em torno da origem por um ângulo theta. O conteúdo envolve transformações lineares, base canônica e matrizes de rotação.

Passo 2

Uma transformação linear em R^2 fica totalmente determinada pelas imagens dos vetores da base canônica e1=(1,0) e e2=(0,1). Vamos achar onde e1 e e2 vão após a rotação de theta.

Passo 3

Rotacionando e1=(1,0) por theta, o ponto (1,0) descreve um círculo e vai para
T(e1) = (costheta,;sintheta)
De modo análogo, rotacionando e2=(0,1) por theta, o ponto (0,1) vai para
T(e2) = (-sintheta,;costheta)

Passo 4

A matriz da transformação linear T tem como colunas T(e1) e T(e2). Assim,
T = costheta & -sintheta sintheta & costheta

Resposta

A transformação linear que realiza a rotação de ângulo theta em R^2 é
T(v) = costheta & -sintheta sintheta & costheta v

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