Sejam V um espaço Euclidiano real de dimensão finita e T: V V um operador auto-adjunto. Mostre que
o polinômio minimal de T e o produto de fatores lineares distintos.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço euclidiano real V de dimensão finita e um operador linear auto-adjunto
T : V to V,
Queremos mostrar que o polinômio minimal de T, digamos mT(t), se factoriza em \emph{fatores lineares distintos}.
Para isso vamos usar o Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos em espaço real, que garante diagonalização ortonormal e valores próprios reais.

Passo 2

Pelo Teorema Espectral, existe uma base ortonormal de V formada por vetores próprios de T. Logo, na base adequada, a matriz de T é diagonal
[T] B = diag(lambda1,lambda2,dots,lambdan),
onde cada lambdaiin R é um valor próprio de T. Cada valor próprio aparece possivelmente com multiplicidade maior que 1 na diagonal, mas todos são reais.

Passo 3

Para uma matriz diagonal diag(lambda1,dots,lambdan), o polinômio minimal é o menor polinômio monico m(t) tal que m(diag(lambdai))=0. Sabemos que
m(t)=prodlambdainsigma(T)(t-lambda),
onde sigma(T)=lambda1,dots,lambdak é o conjunto dos valores próprios distintos de T. Cada fator (t-lambda) aparece apenas uma vez porque, numa matriz diagonal, anular todos os lambdai exige apenas um fator por valor próprio.

Passo 4

Como mT(t) divide o polinômio característico e se anula exatamente nos valores próprios, concluímos que
mT(t)=prodi=1^kl(t-lambdair),
com cada lambdai distinto. Isso mostra que o polinômio minimal de T é produto de fatores lineares distintos.

Resposta

mT(t)=prodlambdainsigma(T)(t-lambda),
com todos os fatores (t-lambda) distintos.

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