Sejam
um espaço Euclidiano real de dimensão finita e
um operador auto-adjunto. Mostre que
o polinômio minimal de
e o produto de fatores lineares distintos.
o polinômio minimal de
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço euclidiano real
de dimensão finita e um operador linear auto-adjunto
Queremos mostrar que o polinômio minimal de
, digamos
, se factoriza em \emph{fatores lineares distintos}.
Para isso vamos usar o Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos em espaço real, que garante diagonalização ortonormal e valores próprios reais.
Para isso vamos usar o Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos em espaço real, que garante diagonalização ortonormal e valores próprios reais.
Passo 2
Pelo Teorema Espectral, existe uma base ortonormal de
formada por vetores próprios de
. Logo, na base adequada, a matriz de
é diagonal
onde cada
é um valor próprio de
. Cada valor próprio aparece possivelmente com multiplicidade maior que
na diagonal, mas todos são reais.
Passo 3
Para uma matriz diagonal
, o polinômio minimal é o menor polinômio monico
tal que
. Sabemos que
onde
é o conjunto dos valores próprios distintos de
. Cada fator
aparece apenas uma vez porque, numa matriz diagonal, anular todos os
exige apenas um fator por valor próprio.
Passo 4
Como
divide o polinômio característico e se anula exatamente nos valores próprios, concluímos que
com cada
distinto. Isso mostra que o polinômio minimal de
é produto de fatores lineares distintos.
Resposta
com todos os fatores
distintos.