Sabendo que g é uma função derivável em seu domínio, calcule as derivadas de f se:
f(x)=g(x)^{1 / 3};

Passo 1

O enunciado define uma função f por
f(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{1/3}
onde g é diferenciável em seu domínio. Precisamos encontrar f'(x). O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia combinada com a regra da potência.

Passo 2

Reconhecemos f como composição de
u(x)=g(x)
com
h(u)=u^{1/3}.
Pela regra da potência, se h(u)=u^n então
h'(u)=n\,u^{n-1}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\Bigl(\tfrac{1}{3}\,u(x)^{1/3-1}\Bigr)\cdot g'(x).
Substituindo u(x)=g(x) e 1/3-1=-2/3, vem
f'(x) =\frac{1}{3}\,\bigl(g(x)\bigr)^{-2/3}\,g'(x).

Passo 4

Podemos reescrever de forma mais convencional:
f'(x) =\frac{g'(x)}{3\,\bigl(g(x)\bigr)^{2/3}}.

Resposta

f'(x)=\frac{g'(x)}{3\,\bigl(g(x)\bigr)^{2/3}}.

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