Sabendo que g é uma função derivável em seu domínio, calcule as derivadas de f se:
f(x)=g\left(\frac{1}{x}\right);

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=g\bigl(\tfrac1x\bigr)
e pede f'(x). Aqui o conteúdo é a regra da cadeia, pois temos uma composição de funções: a externa é g(u) e a interna é u(x)=\tfrac1x.

Passo 2

Primeiro definimos a função interna
u(x)=\frac1x,
cuja derivada, usando a regra do quociente ou a potência x^{-1}, é
u'(x) = -\frac1{x^2}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(x) = g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=\tfrac1x e u'(x)=-\tfrac1{x^2}, vem
f'(x) = g'\Bigl(\tfrac1x\Bigr)\;\cdot\;\Bigl(-\tfrac1{x^2}\Bigr) = -\,\frac{g'\bigl(\tfrac1x\bigr)}{x^2}.

Resposta

f'(x) = -\frac{g'\bigl(\tfrac1x\bigr)}{x^2},\quad x\neq0.

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