Sabendo que g é uma função derivável em seu domínio, calcule as derivadas de f se:
f(x)=g\left(x^{2}\right);

Passo 1

O enunciado dá f(x)=g\bigl(x^2\bigr) e diz que g é derivável no seu domínio. Para encontrar f'(x) e f''(x) vamos usar a regra da cadeia e, no caso de f'', também a regra do produto.

Passo 2

Defina a função intermediária h(x)=x^2. Então f(x)=g\bigl(h(x)\bigr) e
h'(x)=2x.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x) = g'\bigl(x^2\bigr)\cdot 2x.

Passo 3

Para f''(x) derivamos f'(x)=2x\,g'\bigl(x^2\bigr). Aplicando a regra do produto e em seguida a cadeia em g'\bigl(x^2\bigr):
\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)=2, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(g'(x^2)\bigr) =g''(x^2)\cdot 2x.
Logo,
f''(x) =2\cdot g'\bigl(x^2\bigr) +2x\cdot\bigl(2x\,g''(x^2)\bigr) =2\,g'\bigl(x^2\bigr)+4x^2\,g''\bigl(x^2\bigr).

Resposta

f'(x)=2x\,g'\bigl(x^2\bigr), \qquad f''(x)=2\,g'\bigl(x^2\bigr)+4x^2\,g''\bigl(x^2\bigr).

Exercícios relacionados