Sabendo que g é uma função derivável em seu domínio, calcule as derivadas de f se:
f(x)=x^{2} g\left(a-2 x^{3}\right);

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{2}\,g\bigl(a-2x^{3}\bigr)
e pede a sua derivada. Para isso vamos usar duas ferramentas: a regra do produto (para diferenciar x^2\cdot g(\cdot)) e a regra da cadeia (para diferenciar g(a-2x^3)).

Passo 2

Definimos
u(x)=x^{2} \quad\text{e}\quad v(x)=g\bigl(a-2x^{3}\bigr).
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x)=x^2,
u'(x)=2x.

Passo 4

Agora v(x)=g\bigl(a-2x^3\bigr). Pela regra da cadeia,
v'(x)=g'\bigl(a-2x^3\bigr)\,\frac{d}{dx}\bigl(a-2x^3\bigr)
e
\frac{d}{dx}\bigl(a-2x^3\bigr)=-6x^2,
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v'(x)=-6x^2\,g'\bigl(a-2x^3\bigr).

Passo 5

Substituindo em
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)
temos
f'(x)=2x\;g\bigl(a-2x^3\bigr) +x^2\bigl(-6x^2\,g'\bigl(a-2x^3\bigr)\bigr).
Simplificando,
f'(x)=2x\,g\bigl(a-2x^3\bigr)-6x^4\,g'\bigl(a-2x^3\bigr).

Resposta

f'(x)=2x\,g\bigl(a-2x^3\bigr)-6x^4\,g'\bigl(a-2x^3\bigr).

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