Sabendo-se que, se h(x)=\operatorname{cosg}(x), então
h^{\prime}(x)=-(\operatorname{sen} g(x)) \cdot g^{\prime}(x)
Calcule.
h(x)=\cos x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a fórmula geral
h'(x)=-(\operatorname{sen} g(x))\cdot g'(x)
quando h(x)=\cos g(x). Foi pedido para calcular a derivada da função
h(x)=\cos x^{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{1. A função a derivar é }h(x)=\cos x^{2}.\\\ &\text{2. Podemos ver }h\text{ como uma composição }h(x)=\cos\big(g(x)\big)\text{ com }g(x)=x^{2}.\\\ &\text{3. A fórmula dada já indica que devemos usar a regra da cadeia.} \end{aligned}çãéçãóá

Passo 2

Entendendo a ideia (pequena aula): composição e regra da cadeia.
Se tivermos uma função composta \,h(x)=f\big(g(x)\big)\,, a regra da cadeia diz que a derivada é
h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Aqui f é a função exterior (dependendo de uma variável intermediária, que chamamos de u) e g é a função interior (que depende de x). Em palavras: derivamos a parte de fora (avaliada na parte de dentro) e multiplicamos pela derivada da parte de dentro.

Passo 3

Identificar as partes em nossa função.
Escolhemos
f(u)=\cos u\quad\text{e}\quad g(x)=x^{2},
onde u=g(x). Assim h(x)=f(g(x)).

Passo 4

Derivar a função exterior f(u)=\cos u.
A derivada do cosseno é o negativo do seno. Em notação:
f'(u)=\frac{d}{du}\big(\cos u\big)=-\sin u.
(Em português, \sin corresponde ao seno, às vezes escrito “sen”.)

Passo 5

Derivar a função interior g(x)=x^{2}.
Usamos a regra do poder (power rule): se \,g(x)=x^{n}\, então \,g'(x)=n x^{n-1}\,. Para n=2,
g'(x)=2x.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia juntando as peças.
Pela regra da cadeia:
h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Substituindo f'(u)=-\sin u, u=g(x)=x^{2} e g'(x)=2x, obtemos
h'(x)=-\sin\big(x^{2}\big)\cdot 2x.

Passo 7

Simplificar a expressão final e dar uma dica rápida.
Multiplicando os fatores obtemos a forma usual e limpa
h'(x)=-2x\sin\big(x^{2}\big).
Dica para a prova: ao ver \cos(\text{algo}), pense imediatamente em -\sin(\text{algo}) e depois multiplique pela derivada do “algo”. Isso evita erro e é rápido de aplicar.

Resposta

-2x\sin\big(x^{2}\big)

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