Sabendo-se que, se
, então
Calcule.
Passo 1
O enunciado dá a fórmula geral
quando
. Foi pedido para calcular a derivada da função
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Entendendo a ideia (pequena aula): composição e regra da cadeia.
Se tivermos uma função composta , a regra da cadeia diz que a derivada é
Se tivermos uma função composta
Aqui
é a função exterior (dependendo de uma variável intermediária, que chamamos de
) e
é a função interior (que depende de
). Em palavras: derivamos a parte de fora (avaliada na parte de dentro) e multiplicamos pela derivada da parte de dentro.
Passo 3
Identificar as partes em nossa função.
Escolhemos
Escolhemos
onde
. Assim
.
Passo 4
Derivar a função exterior
.
A derivada do cosseno é o negativo do seno. Em notação:
A derivada do cosseno é o negativo do seno. Em notação:
(Em português,
corresponde ao seno, às vezes escrito “sen”.)
Passo 5
Derivar a função interior
.
Usamos a regra do poder (power rule): se então
. Para
,
Usamos a regra do poder (power rule): se
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia juntando as peças.
Pela regra da cadeia:
Pela regra da cadeia:
Substituindo
,
e
, obtemos
Passo 7
Simplificar a expressão final e dar uma dica rápida.
Multiplicando os fatores obtemos a forma usual e limpa
Multiplicando os fatores obtemos a forma usual e limpa
Dica para a prova: ao ver
, pense imediatamente em
e depois multiplique pela derivada do “algo”. Isso evita erro e é rápido de aplicar.