Sabendo-se que, se h(x)=\operatorname{cosg}(x), então
h^{\prime}(x)=-(\operatorname{sen} g(x)) \cdot g^{\prime}(x)
Calcule.
h(x)=\cos 5 x

Passo 1

O enunciado dá a regra geral (cadeia para cosseno): se h(x)=\cos(g(x)), então
h^{\prime}(x) = -\sin(g(x))\cdot g^{\prime}(x).
Pede-se calcular a derivada de h(x)=\cos 5x.
Informações relevantes extraídas do enunciado: h(x)=\cos 5x e a fórmula da derivada de uma composição \cos(g(x)) já está fornecida.

Passo 2

Identificar a função interna g(x) na composição \cos(g(x)). Aqui temos
g(x)=5x,
pois \cos 5x é \cos\bigl(g(x)\bigr) com g(x)=5x.

Passo 3

Calcular a derivada de g(x). A derivada de uma função linear g(x)=a x é g^{\prime}(x)=a. Aplicando com a=5,
g^{\prime}(x)=5.
Explicação curta do porquê: a inclinação de y=ax é constante igual a a, então a taxa de variação instantânea (derivada) é a.

Passo 4

Lembrar a derivada do cosseno como função de uma variável: se f(u)=\cos u, então f^{\prime}(u)=-\sin u. Agora aplicamos a regra da cadeia dada no enunciado:
h^{\prime}(x) = -\sin\bigl(g(x)\bigr)\cdot g^{\prime}(x).

Passo 5

Substituir g(x)=5x e g^{\prime}(x)=5 na expressão do passo anterior:
h^{\prime}(x) = -\sin\bigl(5x\bigr)\cdot 5.

Passo 6

Arrumar a multiplicação (colocar a constante na frente):
h^{\prime}(x) = -5\sin\bigl(5x\bigr).
Comentário encorajador: pronto — é só identificar a parte interna 5x, derivá‑la (fica 5) e multiplicar pelo -\sin do interior.

Resposta

-5\sin(5x)

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