Sabendo-se que, se h(x)=\operatorname{cosg}(x), então
h^{\prime}(x)=-(\operatorname{sen} g(x)) \cdot g^{\prime}(x)
Calcule.
h(x)=\cos \sqrt[3]{x}

Passo 1

O enunciado pede que você calcule a derivada de h quando
h(x)=\cos\sqrt[3]{x}.
Foi dada a fórmula geral (cadeia para coseno):
\text{se }h(x)=\cos g(x)\text{ então }h'(x)=-(\sin g(x))\cdot g'(x).ã
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a forma de h, e a regra pronta para o caso \cos(g(x)). A tarefa é aplicar essa regra ao caso g(x)=\sqrt[3]{x}.

Passo 2

Primeiro identifiquemos a função interior g(x). Aqui é natural tomar
g(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}.
Ou seja, h(x)=\cos\big(g(x)\big) com g(x)=x^{1/3}. Esse passo só separa a composição em função externa (cos) e interna ( g) — essencial para aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Agora precisamos de g'(x). Vou ensinar a regra usada: a regra do poder (power rule) diz que, para qualquer expoente real n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1},
desde que este resultado faça sentido no ponto considerado (por exemplo, em x=0 pode dar indeterminação para expoentes negativos). Aqui n=\tfrac{1}{3}, então aplicando a regra do poder temos
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{1/3}\big)=\frac{1}{3}\,x^{1/3-1}=\frac{1}{3}\,x^{-2/3}.
Reescrevendo com potência positiva no denominador:
g'(x)=\frac{1}{3x^{2/3}},
válido para x\neq 0. (Observação: em x=0 essa expressão não está definida, veremos o que acontece com h' no passo seguinte.)

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da cadeia fornecida:
h'(x)=-(\sin g(x))\cdot g'(x).
Substituindo g(x)=x^{1/3} e g'(x)=\dfrac{1}{3}x^{-2/3} obtemos
h'(x)=-\sin\big(x^{1/3}\big)\cdot\frac{1}{3}x^{-2/3}.
Podemos organizar o fator numérico:
h'(x)=-\frac{1}{3}x^{-2/3}\sin\big(x^{1/3}\big).
Ou, escrevendo com denominador:
h'(x)=-\frac{1}{3x^{2/3}}\sin\big(x^{1/3}\big),
válido quando a expressão faz sentido (isto é, para x\neq 0).

Passo 5

Importante comentar sobre x=0. A fórmula encontrada usa g'(x) que é \frac{1}{3}x^{-2/3}, não definida em x=0. Podemos checar diretamente se h é diferenciável em 0 calculando o limite do quociente incremental:
faça a substituição u=x^{1/3} (ou seja, x=u^{3}). Então
\frac{h(x)-h(0)}{x-0}=\frac{\cos(x^{1/3})-1}{x}=\frac{\cos u -1}{u^{3}}.
Para u\to 0 temos \cos u -1\sim -\dfrac{u^{2}}{2}, então
\frac{\cos u -1}{u^{3}}\sim -\frac{1}{2}\frac{1}{u}\to\pm\infty,
ou seja, o limite não existe (tende a infinito em módulo). Conclusão: h não é diferenciável em x=0. Portanto a expressão obtida em passos anteriores é a derivada apenas para x\neq 0.

Passo 6

Resumo prático e dica para a prova: identifique a função interna g(x), calcule g'(x) com a regra do poder, e aplique a regra da cadeia para a coseno. Sempre verifique pontos onde a expressão resultante possa não estar definida (aqui x=0).

Resposta

h'(x)=-\frac{1}{3}x^{-2/3}\sin\big(x^{1/3}\big),\quad x\neq 0.
Não existe h'(0) (a função não é diferenciável em x=0).

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