Sabendo-se que, se
, então
Calcule.
Passo 1
O enunciado pede que você calcule a derivada de
quando
Foi dada a fórmula geral (cadeia para coseno):
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a forma de
, e a regra pronta para o caso
. A tarefa é aplicar essa regra ao caso
.
Passo 2
Primeiro identifiquemos a função interior
. Aqui é natural tomar
Ou seja,
com
. Esse passo só separa a composição em função externa (cos) e interna (
) — essencial para aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
Agora precisamos de
. Vou ensinar a regra usada: a regra do poder (power rule) diz que, para qualquer expoente real
,
desde que este resultado faça sentido no ponto considerado (por exemplo, em
pode dar indeterminação para expoentes negativos). Aqui
, então aplicando a regra do poder temos
Reescrevendo com potência positiva no denominador:
válido para
. (Observação: em
essa expressão não está definida, veremos o que acontece com
no passo seguinte.)
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da cadeia fornecida:
Substituindo
e
obtemos
Podemos organizar o fator numérico:
Ou, escrevendo com denominador:
válido quando a expressão faz sentido (isto é, para
).
Passo 5
Importante comentar sobre
. A fórmula encontrada usa
que é
, não definida em
. Podemos checar diretamente se
é diferenciável em
calculando o limite do quociente incremental:
faça a substituição (ou seja,
). Então
faça a substituição
Para
temos
, então
ou seja, o limite não existe (tende a infinito em módulo). Conclusão:
não é diferenciável em
. Portanto a expressão obtida em passos anteriores é a derivada apenas para
.
Passo 6
Resumo prático e dica para a prova: identifique a função interna
, calcule
com a regra do poder, e aplique a regra da cadeia para a coseno. Sempre verifique pontos onde a expressão resultante possa não estar definida (aqui
).
Resposta
Não existe
(a função não é diferenciável em
).