Sabendo-se que, se h(x)=\operatorname{cosg}(x), então
h^{\prime}(x)=-(\operatorname{sen} g(x)) \cdot g^{\prime}(x)
Calcule.
h(x)=\cos \left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado dá uma regra geral (a regra da cadeia) e pede para calcular a derivada de h(x)=\cos\bigl(x^{2}+1\bigr). Informações importantes que temos:
\text{Regra dada:}\qquad h'(x)= -\bigl(\operatorname{sen} g(x)\bigr)\cdot g'(x)
e a função que precisamos derivar:
h(x)=\cos\bigl(x^{2}+1\bigr).
Não executei nada ainda — aqui só identifiquei o que é pedido e quais dados o enunciado deu.

Passo 2

Identificar a composição (quem é g(x)). A função h é uma composição da forma \cos(g(x)). Então definimos explicitamente
g(x)=x^{2}+1.
Explicando bem: g(x) é a função interna que está dentro do \cos(\cdot). Na prova, sempre que vir \cos(\text{algo}) pense em \text{algo} como g(x).

Passo 3

Calcular a derivada de g(x). Para isso usamos a regra de derivação de potência e a derivada de constante:
  • A regra de potência: a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,.
  • A derivada de uma constante é 0.
Aplicando a isso,
g(x)=x^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad g'(x)=2x+0=2x.
Portanto
g'(x)=2x.

Passo 4

Lembrar a derivada da função externa \cos(u) em relação a u. A derivada é
\frac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u).
Isto significa que, se tivéssemos apenas \cos(u) com u como variável, a derivada seria -\sin(u). Agora, pelo enunciado (regra da cadeia), quando u=g(x) temos que multiplicar por g'(x).

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia (usando a fórmula dada). Usando
h'(x)= -\bigl(\operatorname{sen} g(x)\bigr)\cdot g'(x),
substituímos g(x)=x^{2}+1 e g'(x)=2x. Ficamos com
h'(x) = -\sin\bigl(x^{2}+1\bigr)\cdot 2x.

Passo 6

Organizar e simplificar a expressão final. Podemos trocar a ordem dos fatores e colocar o sinal em frente:
h'(x) = -2x\,\sin\bigl(x^{2}+1\bigr).
Essa é a forma mais comum e conveniente de escrever a derivada.

Resposta

-2x\sin\bigl(x^{2}+1\bigr)

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