Sabendo que \int f(x) d x=4, calcule:
\n\int(2 f(x)+1) d x+4 \int \frac{f(x)-3}{2} d x\n

Passo 1

O enunciado diz que
\int f(x)\,dx = 4
e pede para calcular
\int\bigl(2f(x)+1\bigr)\,dx \;+\;4\int\frac{f(x)-3}{2}\,dx.
O conteúdo é a propriedade de linearidade da integral indefinida.

Passo 2

Aplicamos linearidade em \displaystyle \int\bigl(2f(x)+1\bigr)\,dx:
\int\bigl(2f(x)+1\bigr)\,dx =2\int f(x)\,dx \;+\;\int 1\,dx =2\cdot4 + x =8 + x.

Passo 3

Agora em \displaystyle 4\int\frac{f(x)-3}{2}\,dx usamos
\int\frac{f(x)-3}{2}\,dx =\frac12\int f(x)\,dx \;-\;\frac32\int 1\,dx =\frac12\cdot4 \;-\;\frac32\,x =2 - \tfrac32x.
Multiplicando por 4:
4\bigl(2 - \tfrac32x\bigr) =8 - 6x.

Passo 4

Somamos os dois resultados:
(8 + x) \;+\;(8 - 6x) =16 -5x.
Como estamos lidando com integrais indefinidas, podemos acrescentar uma constante de integração C.

Resposta

16 - 5x + C

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