Sabendo que:
Determine
na forma de uma fração irredutível
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um limite que envolve uma raiz de índice quatro e uma fração com polinômios. O conteúdo aqui é sobre limites no infinito, e pra resolver isso, vamos precisar entender como os termos se comportam quando $ x $ vai para menos infinito. O objetivo final é encontrar $ L^4 $ na forma de uma fração irredutível.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador: $ \sqrt[4]{7x^{12} + 5x^{4} + 7} $. Quando $ x $ vai para menos infinito, o termo que mais domina aqui é $ 7x^{12} $, porque $ x^{12} $ cresce muito mais rápido que $ x^{4} $ ou qualquer constante.
Passo 3
No denominador, temos $ 2x^{3} + 2 $. Aqui, o termo dominante é $ 2x^{3} $, já que $ x^{3} $ cresce mais que a constante 2.
Passo 4
Então, a gente simplifica a expressão principal considerando apenas os termos dominantes:
Lembrando que $ \sqrt[4]{x^{12}} = |x|^{3} $.
Passo 5
Agora, vamos simplificar a fração:
Porque $ x $ é negativo e estamos elevando ao cubo, o sinal fica negativo.
Passo 6
Assim, o limite $ L $ é:
Passo 7
Queremos encontrar $ L^{4} $: