Sabendo que:
lim x -infty raiz[4]7 x^12+5 x^4+72 x^3+2=L
Determine L^4 na forma de uma fração irredutível ab :
a=
b=

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite que envolve uma raiz de índice quatro e uma fração com polinômios. O conteúdo aqui é sobre limites no infinito, e pra resolver isso, vamos precisar entender como os termos se comportam quando $ x $ vai para menos infinito. O objetivo final é encontrar $ L^4 $ na forma de uma fração irredutível.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador: $ \sqrt[4]{7x^{12} + 5x^{4} + 7} $. Quando $ x $ vai para menos infinito, o termo que mais domina aqui é $ 7x^{12} $, porque $ x^{12} $ cresce muito mais rápido que $ x^{4} $ ou qualquer constante.

Passo 3

No denominador, temos $ 2x^{3} + 2 $. Aqui, o termo dominante é $ 2x^{3} $, já que $ x^{3} $ cresce mais que a constante 2.

Passo 4

Então, a gente simplifica a expressão principal considerando apenas os termos dominantes:
limx to -infty raiz[4]7x^122x^3 = limx to -infty raiz[4]7 cdot |x|^32x^3
Lembrando que $ \sqrt[4]{x^{12}} = |x|^{3} $.

Passo 5

Agora, vamos simplificar a fração:
raiz[4]7 cdot |x|^32x^3 = raiz[4]7 cdot (-x)^32x^3 = raiz[4]7 cdot (-1)^3 cdot x^32x^3 = -raiz[4]72
Porque $ x $ é negativo e estamos elevando ao cubo, o sinal fica negativo.

Passo 6

Assim, o limite $ L $ é:
L

Passo 7

Queremos encontrar $ L^{4} $:
L^4

Resposta

a=7
b=16

Exercícios relacionados