Sabendo que \lim _{x \rightarrow 3}\left(2 x^{2}-8\right)=10, encontre um \delta para \varepsilon=0,21 tal que 0<|x-3|<\delta \Rightarrow|f(x)-10|<0,21.

Passo 1

O enunciado dá que \lim_{x\to3}\left(2x^{2}-8\right)=10 e pede: para \varepsilon=0,21 encontrar um \delta>0 tal que
0<|x-3|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-10|<0,21,
onde f(x)=2x^{2}-8. Ou seja, dado o \varepsilon fornecido, preciso encontrar um \delta que garanta a condição da definição \varepsilon- \delta de limite.

Passo 2

Relembrando a definição de limite (no estilo amigo e direto): dizer que \lim_{x\to3}f(x)=10 significa que, para cada \varepsilon>0, existe um \delta>0 tal que se |x-3|<\delta então |f(x)-10|<\varepsilon. Aqui \varepsilon é 0,21; vamos manipular |f(x)-10| para relacioná‑lo com |x-3| e daí escolher um \delta.

Passo 3

Calcular explicitamente a diferença que queremos controlar:
|f(x)-10| = |2x^{2}-8-10| = |2x^{2}-18| = 2|x^{2}-9|.
Fatorando x^{2}-9 obtemos
|f(x)-10| = 2|x-3||x+3|.

Passo 4

Para ligar |f(x)-10| a |x-3| precisamos controlar o fator |x+3|. Uma técnica padrão: restringir \delta para que |x-3|<1. Se |x-3|<1 então
-1<x-3<1 \quad\Rightarrow\quad 2<x<4,
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5<x+3<7 \quad\Rightarrow\quad |x+3|<7.
Portanto, sempre que impusermos |x-3|<1 teremos a desigualdade de maiorante
|f(x)-10| = 2|x-3||x+3| < 2|x-3|\cdot 7 = 14|x-3|.

Passo 5

Queremos que |f(x)-10|<0,21. Usando o majorante obtido, uma condição suficiente é
14|x-3|<0,21.
Isolando |x-3| obtemos
|x-3|<\dfrac{0,21}{14}.
Calculemos a fração:
\dfrac{0,21}{14} = 0,015.

Passo 6

Para garantir simultaneamente a hipótese usada ( |x-3|<1) e a condição encontrada ( |x-3|<0,015), escolhemos
\delta=\min\{1,\;0,015\}=0,015.
Com essa escolha, se 0<|x-3|<\delta então primeiramente |x-3|<1 e portanto |x+3|<7; daí
|f(x)-10| \le 14|x-3| < 14\cdot 0,015 = 0,21,
ou seja, a implicação desejada é satisfeita.

Resposta

\delta=0,015

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