Sabendo que
, encontre um
para
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá que
e pede: para
encontrar um
tal que
onde
. Ou seja, dado o
fornecido, preciso encontrar um
que garanta a condição da definição
-
de limite.
Passo 2
Relembrando a definição de limite (no estilo amigo e direto): dizer que
significa que, para cada
, existe um
tal que se
então
. Aqui
é
; vamos manipular
para relacioná‑lo com
e daí escolher um
.
Passo 3
Calcular explicitamente a diferença que queremos controlar:
Fatorando
obtemos
Passo 4
Para ligar
a
precisamos controlar o fator
. Uma técnica padrão: restringir
para que
. Se
então
logo
Portanto, sempre que impusermos
teremos a desigualdade de maiorante
Passo 5
Queremos que
. Usando o majorante obtido, uma condição suficiente é
Isolando
obtemos
Calculemos a fração:
Passo 6
Para garantir simultaneamente a hipótese usada (
) e a condição encontrada (
), escolhemos
Com essa escolha, se
então primeiramente
e portanto
; daí
ou seja, a implicação desejada é satisfeita.