Utilizando a definição, mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição (épsilon–delta), que
Informações fornecidas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - A afirmação a ser provada é que o limite vale
.
O que precisamos demonstrar formalmente: para todoexiste tal que, sempre que , temos .
Passo 2
Lembrete da definição de limite (forma que vamos usar):
Aqui:
-
é a máxima tolerância que aceitamos na diferença entre e o limite (distância no eixo ); -
é a distância no eixo em torno de que garante essa tolerância; -
é o valor proposto para o limite, que no enunciado é .
Passo 3
Vamos escrever a expressão que precisamos controlar, isto é
, e simplificá-la passo a passo:
Calcule o que está dentro do valor absoluto:
Fatorando:
Tirando o valor absoluto e usando
, obtemos
Passo 4
Agora relacionamos a expressão com
. Queremos garantir
. Como
, basta garantir
Dividindo ambos os lados por
(positivo), isso é equivalente a
Portanto uma escolha natural para
é
Note que
sempre que
, como exige a definição.
Passo 5
Montagem da prova epsilon–delta formal: seja arbitrário
. Defina
Suponha
tal que
. Então, usando a relação obtida,
Isto mostra exatamente que, para esta escolha de
, a condição da definição de limite é satisfeita.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar a intuição: se escolhermos
, então
. Isso significa que sempre que
estiver dentro de
de
(mas diferente de
), o valor de
estará a menos de
de
. Funções lineares como
têm esse comportamento simples porque a diferença em
é uma constante vezes a diferença em
.