Utilizando a definição, mostre que \lim _{x \rightarrow 1}(-5 x+3)=-2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição (épsilon–delta), que
\lim_{x\to 1}(-5x+3) = -2.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x) = -5x+3.
  • O ponto de interesse é x\to 1.
  • A afirmação a ser provada é que o limite vale -2.
    O que precisamos demonstrar formalmente: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta, temos |f(x)-(-2)|<\varepsilon.

Passo 2

Lembrete da definição de limite (forma que vamos usar):
\text{Para todo }\varepsilon>0\\ \exists\\ \delta>0\\ \text{ tal que se }0<|x-1|<\delta\text{ então }|f(x)-L|<\varepsilon.ã
Aqui:
  • \varepsilon é a máxima tolerância que aceitamos na diferença entre f(x) e o limite L (distância no eixo y);
  • \delta é a distância no eixo x em torno de 1 que garante essa tolerância;
  • L é o valor proposto para o limite, que no enunciado é -2.

Passo 3

Vamos escrever a expressão que precisamos controlar, isto é |f(x)-(-2)|, e simplificá-la passo a passo:
|f(x)-(-2)| = |-5x+3 - (-2)|.
Calcule o que está dentro do valor absoluto:
-5x+3 - (-2) = -5x+3+2 = -5x+5.
Fatorando:
-5x+5 = -5(x-1).
Tirando o valor absoluto e usando |-5(x-1)| = 5|x-1|, obtemos
|f(x)-(-2)| = 5|x-1|.

Passo 4

Agora relacionamos a expressão com \varepsilon. Queremos garantir |f(x)-(-2)|<\varepsilon. Como |f(x)-(-2)|=5|x-1|, basta garantir
5|x-1| < \varepsilon.
Dividindo ambos os lados por 5 (positivo), isso é equivalente a
|x-1| < \frac{\varepsilon}{5}.
Portanto uma escolha natural para \delta é
\delta = \frac{\varepsilon}{5}.
Note que \delta>0 sempre que \varepsilon>0, como exige a definição.

Passo 5

Montagem da prova epsilon–delta formal: seja arbitrário \varepsilon>0. Defina
\delta := \frac{\varepsilon}{5}.
Suponha x tal que 0<|x-1|<\delta. Então, usando a relação obtida,
|f(x)-(-2)| = 5|x-1| < 5\delta = 5\cdot\frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon.
Isto mostra exatamente que, para esta escolha de \delta, a condição da definição de limite é satisfeita.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar a intuição: se escolhermos \varepsilon=0,1, então \delta=\dfrac{0,1}{5}=0,02. Isso significa que sempre que x estiver dentro de 0,02 de 1 (mas diferente de 1), o valor de f(x) estará a menos de 0,1 de -2. Funções lineares como f(x)=-5x+3 têm esse comportamento simples porque a diferença em y é uma constante vezes a diferença em x.

Resposta

-2

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