Sabendo que o K_{\mathrm{ps}} do \mathrm{Hg}_{2} \mathrm{Cl}_{2} é igual a 1,2 \times 10^{-18}, calcule a solubilidade do \mathrm{Hg}_{2} \mathrm{Cl}_{2} em água a partir desse dado.
Resposta: s=6,7 \times 10^{-7} \mathrm{~mol} / \mathrm{L}

Passo 1

Enunciado claro e dados fornecidos:
K_{\mathrm{ps}}(\mathrm{Hg}_2\mathrm{Cl}_2)=1{,}2\times10^{-18}.
O que o problema pede: calcular a solubilidade do \mathrm{Hg}_2\mathrm{Cl}_2 em água, ou seja, encontrar s, a concentração (em mol/L) da quantidade dissolvida por litro de solução na condição de equilíbrio.

Passo 2

Entender a reação de dissolução e definir o que é s.
Quando o sólido \mathrm{Hg}_2\mathrm{Cl}_2 se dissolve, ele se dissocia segundo a equação:
\mathrm{Hg}_2\mathrm{Cl}_2(s) \rightleftharpoons \mathrm{Hg}_2^{2+}(aq) + 2\,\mathrm{Cl}^-(aq).
Aqui cada mol de \mathrm{Hg}_2\mathrm{Cl}_2 que se dissolve gera um mol de \mathrm{Hg}_2^{2+} e dois mols de \mathrm{Cl}^-. Vamos definir s como a solubilidade molar do sal, isto é:
s=\text{concentração de } \mathrm{Hg}_2\mathrm{Cl}_2 \text{ dissolvido }(=\,[\mathrm{Hg}_2^{2+}]).çã
Portanto, em equilíbrio:
[\mathrm{Hg}_2^{2+}]=s \qquad\text{e}\qquad [\mathrm{Cl}^-]=2s.

Passo 3

Escrever a expressão do produto de solubilidade K_{\mathrm{ps}} para esse equilíbrio.
Por definição,
K_{\mathrm{ps}}=[\mathrm{Hg}_2^{2+}]\,[\mathrm{Cl}^-]^2.
Substituindo as concentrações em função de s:
K_{\mathrm{ps}}=s\,(2s)^2.

Passo 4

Simplificar a expressão para obter uma equação em s.
Calculemos (2s)^2:
(2s)^2=4s^2.
Logo
K_{\mathrm{ps}}=s\cdot 4s^2=4s^3.
Esta é a relação entre K_{\mathrm{ps}} e a solubilidade s para este sal.

Passo 5

Isolar s na equação K_{\mathrm{ps}}=4s^3.
s^3=\frac{K_{\mathrm{ps}}}{4} \qquad\Rightarrow\qquad s=\sqrt[3]{\frac{K_{\mathrm{ps}}}{4}}.
Agora vamos substituir o valor numérico de K_{\mathrm{ps}}.

Passo 6

Substituir o valor dado e transformar para uma potência conveniente.
\frac{K_{\mathrm{ps}}}{4}=\frac{1{,}2\times10^{-18}}{4}=0{,}3\times10^{-18}=3{,}0\times10^{-19}.
Então
s=\sqrt[3]{3{,}0\times10^{-19}}.

Passo 7

Calcular a raiz cúbica usando propriedades de potências e aproximações manuais.
Usamos que \sqrt[3]{a\times10^{b}}=\sqrt[3]{a}\times10^{b/3}.
Aqui a=3{,}0 e b=-19. Primeiro:
\sqrt[3]{3{,}0}\approx1{,}442\quad\text{(porque }1{,}4^3=2{,}744\text{ e }1{,}45^3\approx3{,}05\text{, logo }1{,}442\text{ fica entre eles).}
Depois:
10^{-19/3}=10^{-6{,}333\ldots}=10^{-6}\times10^{-0{,}333\ldots}.
Sabendo que 10^{0{,}333\ldots}=\sqrt[3]{10}\approx2{,}154, temos 10^{-0{,}333\ldots}\approx0{,}464. Assim
10^{-19/3}\approx10^{-6}\times0{,}464=4{,}64\times10^{-7}.
Multiplicando:
s\approx1{,}442\times4{,}64\times10^{-7}\approx6{,}69\times10^{-7}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.

Passo 8

Arredondamento final e checagem de consistência.
Arredondando razoavelmente para duas casas significativas (condizente com K_{\mathrm{ps}}=1{,}2\times10^{-18} com duas cifras),
s\approx6{,}7\times10^{-7}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
Unidades fazem sentido: s é concentração em mol/L.

Resposta

s=6{,}7\times10^{-7}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}

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