Sabendo que o modulo da força de atração entre duas massas é
, atuando na direção que liga as duas massas, m e M , separadas pela distância R , determine a dimensão (não a unidade!) da constante G nos sistemas pedidos a seguir e, atribuindo os valores M = 6 kg , L
, para as grandezas fundamentais, substitua os valores de acordo com a “expressão” da dimensão encontrada, resolvendo os cálculos.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar a dimensão da constante
a partir da fórmula dada; (2) atribuir valores às grandezas fundamentais e usar a expressão dimensional encontrada para calcular numericamente o produto correspondente. Informações fornecidas no enunciado que vamos usar: a lei é
onde
é a força entre duas massas
e
, separadas pela distância
. Também foram dados os valores (para as grandezas fundamentais)
.
(O problema requer a dimensão de e, em seguida, a substituição numérica dessas grandezas na “expressão” da dimensão.)
(O problema requer a dimensão de
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “dimensão” de uma grandeza: representamos a dimensão de uma grandeza
por
e a escrevemos em função das grandezas fundamentais massa, comprimento e tempo, que aqui chamamos de
,
e
. Cada variável física entra com um expoente inteiro (ou racional) que indica como a grandeza depende de massa, comprimento e tempo.
Para poder encontrar precisamos saber a dimensão de
e de
. A dimensão da distância
é óbvia:
Para poder encontrar
A dimensão da força
vem da relação força = massa × aceleração. A aceleração tem dimensão de comprimento por tempo ao quadrado:
Multiplicando pela massa, obtemos a dimensão da força:
Aqui eu mostro passo a passo para você poder usar isso na hora da prova: aceleração é variação de velocidade por tempo; velocidade é comprimento por tempo, então aceleração é comprimento dividido por tempo ao quadrado; força é massa vezes aceleração, daí
.
Passo 3
Agora isolamos
na expressão dada:
Em termos de dimensões, escrevemos
substituindo cada grandeza pela sua dimensão:
Aqui note que
e
representam a mesma dimensão (massa), ambas iguais a
. Então podemos simplificar usando essa igualdade.
Passo 4
Substituímos
e
na fórmula de
:
Agora fazemos as operações sobre as potências de
,
e
separadamente:
Juntando os
obtemos
; para
temos
; e
fica como está. Portanto:
Isto é a dimensão de
: massa ao expoente
, comprimento ao expoente
e tempo ao expoente
. Comentário amigo: isso coincide com a dimensão que você costuma ver para a constante gravitacional, então é um bom sinal de que a álgebra está correta.
Passo 5
Agora vamos “atribuir os valores” indicados pelo enunciado às grandezas fundamentais e calcular o valor numérico correspondente à expressão dimensional. A ideia pedida é substituir
,
,
pelos números dados, respeitando as potências encontradas em
. Escrevemos:
Calculemos passo a passo, devagarinho para não errar na prova: primeiro
. Depois
. E
. Multiplicando tudo:
Passo 6
Continuando a multiplicação:
Logo o resultado numérico da substituição pedida é
Pequena observação prática: na prova escreva a forma fracionária
para ficar exato, e se pedirem aproximado, use
.