Sabendo que o modulo da força de atração entre duas massas é F=\frac{\text { LiMm }}{R^{2}}, atuando na direção que liga as duas massas, m e M , separadas pela distância R , determine a dimensão (não a unidade!) da constante G nos sistemas pedidos a seguir e, atribuindo os valores M = 6 kg , L =8 \mathrm{me} \mathrm{T}=2 \mathrm{~s}, para as grandezas fundamentais, substitua os valores de acordo com a “expressão” da dimensão encontrada, resolvendo os cálculos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar a dimensão da constante G a partir da fórmula dada; (2) atribuir valores às grandezas fundamentais e usar a expressão dimensional encontrada para calcular numericamente o produto correspondente. Informações fornecidas no enunciado que vamos usar: a lei é
F=\frac{G\,M\,m}{R^{2}},
onde F é a força entre duas massas M e m, separadas pela distância R. Também foram dados os valores (para as grandezas fundamentais) \,M=6\\ \mathrm{kg},\; L=8\\ \mathrm{m},\; T=2\\ \mathrm{s}.
(O problema requer a dimensão de G e, em seguida, a substituição numérica dessas grandezas na “expressão” da dimensão.)

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “dimensão” de uma grandeza: representamos a dimensão de uma grandeza X por [X] e a escrevemos em função das grandezas fundamentais massa, comprimento e tempo, que aqui chamamos de M, L e T. Cada variável física entra com um expoente inteiro (ou racional) que indica como a grandeza depende de massa, comprimento e tempo.
Para poder encontrar [G] precisamos saber a dimensão de F e de R. A dimensão da distância R é óbvia:
[R]=L.
A dimensão da força F vem da relação força = massa × aceleração. A aceleração tem dimensão de comprimento por tempo ao quadrado:
[a]=\frac{L}{T^{2}}=L\,T^{-2}.
Multiplicando pela massa, obtemos a dimensão da força:
[F]=M\cdot L\,T^{-2}=M\,L\,T^{-2}.
Aqui eu mostro passo a passo para você poder usar isso na hora da prova: aceleração é variação de velocidade por tempo; velocidade é comprimento por tempo, então aceleração é comprimento dividido por tempo ao quadrado; força é massa vezes aceleração, daí [F]=M L T^{-2}.

Passo 3

Agora isolamos G na expressão dada:
G=\frac{F\,R^{2}}{M\,m}.
Em termos de dimensões, escrevemos [G] substituindo cada grandeza pela sua dimensão:
[G]=\frac{[F]\,[R]^{2}}{[M]\,[m]}.
Aqui note que [M] e [m] representam a mesma dimensão (massa), ambas iguais a M. Então podemos simplificar usando essa igualdade.

Passo 4

Substituímos [F]=M\,L\,T^{-2} e [R]=L na fórmula de [G]:
[G]=\frac{(M\,L\,T^{-2})\,(L)^{2}}{M\cdot M}.
Agora fazemos as operações sobre as potências de M, L e T separadamente:
[G]=\frac{M^{1}\,L^{1}\,T^{-2}\cdot L^{2}}{M^{2}}.
Juntando os L obtemos L^{1+2}=L^{3}; para M temos M^{1}/M^{2}=M^{-1}; e T^{-2} fica como está. Portanto:
[G]=M^{-1}\,L^{3}\,T^{-2}.
Isto é a dimensão de G: massa ao expoente -1, comprimento ao expoente 3 e tempo ao expoente -2. Comentário amigo: isso coincide com a dimensão que você costuma ver para a constante gravitacional, então é um bom sinal de que a álgebra está correta.

Passo 5

Agora vamos “atribuir os valores” indicados pelo enunciado às grandezas fundamentais e calcular o valor numérico correspondente à expressão dimensional. A ideia pedida é substituir M, L, T pelos números dados, respeitando as potências encontradas em [G]=M^{-1}L^{3}T^{-2}. Escrevemos:
[G]_{\text{num}}=(6\\ \mathrm{kg})^{-1}\,(8\\ \mathrm{m})^{3}\,(2\\ \mathrm{s})^{-2}.
Calculemos passo a passo, devagarinho para não errar na prova: primeiro (8\\ \mathrm{m})^{3}=8^{3}\\ \mathrm{m}^{3}=512\\ \mathrm{m}^{3}. Depois (2\\ \mathrm{s})^{-2}=2^{-2}\\ \mathrm{s}^{-2}=\tfrac{1}{4}\\ \mathrm{s}^{-2}. E (6\\ \mathrm{kg})^{-1}=\tfrac{1}{6}\\ \mathrm{kg}^{-1}. Multiplicando tudo:
[G]_{\text{num}}=\frac{1}{6}\cdot 512\cdot\frac{1}{4}\\ \mathrm{kg}^{-1}\mathrm{m}^{3}\mathrm{s}^{-2}.

Passo 6

Continuando a multiplicação:
\frac{1}{6}\cdot 512\cdot\frac{1}{4}=\frac{512}{24}=\frac{64}{3}.
Logo o resultado numérico da substituição pedida é
\frac{64}{3}\\ \mathrm{kg}^{-1}\mathrm{m}^{3}\mathrm{s}^{-2}\approx 21{,}333\\ \mathrm{kg}^{-1}\mathrm{m}^{3}\mathrm{s}^{-2}.
Pequena observação prática: na prova escreva a forma fracionária \tfrac{64}{3} para ficar exato, e se pedirem aproximado, use 21{,}33.

Resposta

[G]=M^{-1}L^{3}T^{-2}
\displaystyle [G]_{\text{num}}=\frac{64}{3}\\ \mathrm{kg}^{-1}\mathrm{m}^{3}\mathrm{s}^{-2}

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