Sabendo que o período de um pêndulo depende do comprimento do fio e da aceleração da gravidade (dimensões
), determine (a menos de uma constante) a equação que descreve o período do pêndulo utilizando análise dimensional e, considerando o comprimento igual a 70 metros, calcule o período do pêndulo, sem considerar a constante. Use
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar, a menos de uma constante, a equação que descreve o período do pêndulo usando análise dimensional; (2) considerando o comprimento igual a
metros e
, calcular o período sem considerar a constante.
Informações dadas relevantes:
Informações dadas relevantes:
- O período do pêndulo é uma função do comprimento do fio e da aceleração da gravidade.
- O comprimento tem dimensão de comprimento:
. - A aceleração da gravidade tem dimensão
. - Queremos a relação apenas “a menos de uma constante” (ou seja, fator adimensional multiplicativo desconhecido pode existir).
- Valor numérico:
e .
Passo 2
Hipótese tradicional de análise dimensional: suponha que o período
dependa de
e
por uma lei de potência. Escrevemos
onde
é uma constante adimensional desconhecida (que vamos ignorar numericamente depois), e
e
são expoentes reais a determinar por homogeneidade dimensional. Aqui:
-
tem dimensão temporal . -
tem dimensão . -
tem dimensão .
Passo 3
Escrevemos as dimensões de ambos os lados da igualdade. A dimensão do lado esquerdo é
. A dimensão do lado direito é
Para que a equação seja dimensionalmente homogênea, os expoentes de
e
devem coincidir nos dois lados.
Passo 4
Igualando expoentes:
- Exponente de
: (pois o lado esquerdo não tem fator ). - Exponente de
: (pois no lado esquerdo temos ).
Da segunda equação obtemos
Da primeira equação
Passo 5
Substituindo
e
na hipótese inicial:
Isto significa, a menos de uma constante adimensional
, que o período cresce com a raiz quadrada do comprimento e decresce com a raiz quadrada de
. A forma usual (pela teoria do pêndulo para pequenas oscilações) tem
, mas aqui só pediram a dependência dimensional, então mantemos
desconhecido.
Passo 6
Agora calculamos o período ignorando a constante
(ou seja, assumindo
apenas para obter a escala temporal). Usamos
Com
e
:
Agora a raiz quadrada:
Para arredondar de forma prática, podemos escrever
. (Lembrete: isto é sem o fator constante
.)