Sabendo que o período de um pêndulo depende do comprimento do fio e da aceleração da gravidade (dimensões L T^{-2} ), determine (a menos de uma constante) a equação que descreve o período do pêndulo utilizando análise dimensional e, considerando o comprimento igual a 70 metros, calcule o período do pêndulo, sem considerar a constante. Use g=9.81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar, a menos de uma constante, a equação que descreve o período do pêndulo usando análise dimensional; (2) considerando o comprimento igual a 70 metros e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, calcular o período sem considerar a constante.
Informações dadas relevantes:
  • O período do pêndulo é uma função do comprimento do fio e da aceleração da gravidade.
  • O comprimento tem dimensão de comprimento: [L].
  • A aceleração da gravidade tem dimensão [L\,T^{-2}].
  • Queremos a relação apenas “a menos de uma constante” (ou seja, fator adimensional multiplicativo desconhecido pode existir).
  • Valor numérico: L=70\\ \mathrm{m} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Hipótese tradicional de análise dimensional: suponha que o período T dependa de L e g por uma lei de potência. Escrevemos
T = k\,L^{a}\,g^{b},
onde k é uma constante adimensional desconhecida (que vamos ignorar numericamente depois), e a e b são expoentes reais a determinar por homogeneidade dimensional. Aqui:
  • T tem dimensão temporal [T].
  • L tem dimensão [L].
  • g tem dimensão [L\,T^{-2}].

Passo 3

Escrevemos as dimensões de ambos os lados da igualdade. A dimensão do lado esquerdo é [T]. A dimensão do lado direito é
[L^{a}]\,[L\,T^{-2}]^{b} = L^{a}\,L^{b}\,T^{-2b} = L^{a+b}\,T^{-2b}.
Para que a equação seja dimensionalmente homogênea, os expoentes de L e T devem coincidir nos dois lados.

Passo 4

Igualando expoentes:
  • Exponente de L: \;0 = a + b (pois o lado esquerdo não tem fator L).
  • Exponente de T: \;1 = -2b (pois no lado esquerdo temos T^{1}).
Da segunda equação obtemos
-2b = 1 \implies b = -\tfrac{1}{2}.
Da primeira equação
a + b = 0 \implies a = -b = \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Substituindo a e b na hipótese inicial:
T = k\,L^{1/2}\,g^{-1/2} = k\,\sqrt{\frac{L}{g}}.
Isto significa, a menos de uma constante adimensional k, que o período cresce com a raiz quadrada do comprimento e decresce com a raiz quadrada de g. A forma usual (pela teoria do pêndulo para pequenas oscilações) tem k=2\pi, mas aqui só pediram a dependência dimensional, então mantemos k desconhecido.

Passo 6

Agora calculamos o período ignorando a constante k (ou seja, assumindo k=1 apenas para obter a escala temporal). Usamos
T \approx \sqrt{\frac{L}{g}}.
Com L=70 e g=9{,}81:
\frac{L}{g}=\frac{70}{9{,}81}=\frac{7000}{981}\approx 7{,}135680449\ldots
Agora a raiz quadrada:
T \approx \sqrt{7{,}135680449\ldots}\approx 2{,}67127\\ \mathrm{s}.
Para arredondar de forma prática, podemos escrever T\approx 2{,}67\\ \mathrm{s}. (Lembrete: isto é sem o fator constante k.)

Resposta

T = C\,\sqrt{\dfrac{L}{g}} (constante adimensional C não determinada pela análise dimensional)
T \approx 2{,}67\\ \mathrm{s} (valor numérico para L=70\\ \mathrm{m} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, sem considerar a constante)

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