Sabendo-se que, se n é um número real não nulo e h(x)=[g(x)]^{n}, então
h^{\prime}(x)=n[g(x)]^{n-1} g^{\prime}(x)
Calcule.
h(x)=\left(e^{x}+x^{4}\right)^{5}

Passo 1

O enunciado dá a regra geral: se n é um número real não nulo e h(x)=[g(x)]^{n}, então
h^{\prime}(x)=n[g(x)]^{n-1} g^{\prime}(x).
O problema específico fornece
h(x)=\left(e^{x}+x^{4}\right)^{5}.
Pergunta: Calcular h^{\prime}(x). Informações relevantes: a função interna é e^{x}+x^{4} e o expoente é 5.

Passo 2

Vamos aplicar a regra dada (a chamada “regra da cadeia”). Ideia básica da regra: se temos uma função composta h(x)=\big(u(x)\big)^{n}, podemos primeiro derivar a parte externa em relação a u (como se u fosse variável independente) e depois multiplicar pela derivada de u em relação a x. Em fórmula:
\frac{d}{dx}\big(u(x)\big)^{n}=\frac{d}{du}\big(u^{n}\big)\cdot\frac{du}{dx}=n u^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui u(x)=g(x). Essa é exatamente a regra fornecida no enunciado.

Passo 3

Identificar explicitamente as peças:
u(x)=g(x)=e^{x}+x^{4}, \qquad n=5.
A parte externa é u^{5} e a parte interna é u(x)=e^{x}+x^{4}.

Passo 4

Calcular a derivada da função interna u(x)=e^{x}+x^{4}.
Regras usadas:
  • A derivada de \,e^{x} em relação a x é \,e^{x}.
  • A regra do poder (power rule): a derivada de \,x^{m} é \,m x^{m-1}. Aqui com m=4 obtemos \,4x^{3}.
    Portanto,
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}+x^{4}\big)=e^{x}+4x^{3}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia (substituindo u(x) e u'(x) na fórmula):
h^{\prime}(x)=n\big(u(x)\big)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Substituindo n=5, u(x)=e^{x}+x^{4} e u'(x)=e^{x}+4x^{3}, obtemos
h^{\prime}(x)=5\big(e^{x}+x^{4}\big)^{4}\big(e^{x}+4x^{3}\big).

Passo 6

Comentário prático (útil na prova): a forma fatorada
h^{\prime}(x)=5\big(e^{x}+x^{4}\big)^{4}\big(e^{x}+4x^{3}\big)
é a mais limpa e geralmente a esperada. Se for necessário avaliar em algum ponto, por exemplo em x=0, basta substituir: h'(0)=5(1+0)^{4}(1+0)=5.

Resposta

h^{\prime}(x)=5\big(e^{x}+x^{4}\big)^{4}\big(e^{x}+4x^{3}\big)

Exercícios relacionados