Sabendo-se que, se n é um número real não nulo e h(x)=[g(x)]^{n}, então
h^{\prime}(x)=n[g(x)]^{n-1} g^{\prime}(x)
Calcule.
h(x)=\left(\operatorname{tg} x+x^{5}\right)^{6}

Passo 1

O enunciado dá a fórmula geral: se n é um número real não nulo e h(x)=[g(x)]^{n}, então
h^{\prime}(x)=n[g(x)]^{n-1} g^{\prime}(x).
Pede-se para calcular a derivada de
h(x)=\bigl(\operatorname{tg} x + x^{5}\bigr)^{6}.
Informações relevantes dadas: a fórmula da derivada para potências compostas e a função h(x) já explicitada. O objetivo é encontrar h^{\prime}(x).

Passo 2

Identifico a parte externa e a parte interna da função composta. Defino
g(x)=\operatorname{tg} x + x^{5}
e
n=6.
Aplicando a fórmula já dada para h(x)=[g(x)]^{n}, obtenho a forma geral
h^{\prime}(x)=6\,[g(x)]^{5}\,g^{\prime}(x).
Agora falta calcular g^{\prime}(x).

Passo 3

Calculo a derivada de g(x) termo a termo.
Primeiro termo: a derivada de \operatorname{tg} x.
Uma forma de ver isso é usar \operatorname{tg} x = \dfrac{\sin x}{\cos x} e aplicar a regra do quociente, ou lembrar a derivada padrão. Fazendo a conta rápida:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tg} x\bigr)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) =\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}.
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tg} x\bigr)=\operatorname{sec}^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}.
Segundo termo: a derivada de x^{5}. Pela regra de potência (se f(x)=x^{m}, então f'(x)=m x^{m-1}),
\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr)=5x^{4}.

Passo 4

Somando os termos obtemos
g^{\prime}(x)=\operatorname{sec}^{2}x + 5x^{4}.
Substituo g(x) e g^{\prime}(x) na expressão de h^{\prime}(x) do Passo 2:
h^{\prime}(x)=6\bigl(\operatorname{tg} x + x^{5}\bigr)^{5}\bigl(\operatorname{sec}^{2}x + 5x^{4}\bigr).
Se preferir escrever \operatorname{sec}^{2}x de outra forma, use \dfrac{1}{\cos^{2}x}.

Resposta

h^{\prime}(x)=6\bigl(\operatorname{tg} x + x^{5}\bigr)^{5}\bigl(\operatorname{sec}^{2}x + 5x^{4}\bigr)

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