Sabendo-se que, se
é um número real não nulo e
, então
Calcule.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
sendo
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Vamos identificar claramente as partes da fórmula que vamos usar. A fórmula dada é a regra da cadeia para potência:
onde
e
Ou seja, primeiro diferencio a função interna
e depois multiplico por
.
Passo 3
Calculemos
. Primeiro reescrevo
como potência:
A regra de derivação para potência diz que, para qualquer
e qualquer constante
,
Aplicando isso a
, obtemos
Também sabemos que
Como
, somamos as derivadas:
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia fornecida:
Substituindo
,
e
, obtemos
Passo 5
Vamos deixar a expressão mais bonita e um pouco mais simplificada. Primeiro escrevo a soma dentro do parêntese com denominador comum
:
Substituindo na expressão de
temos
Passo 6
Podemos simplificar o fator numérico
com o denominador
do quociente:
Portanto uma forma mais compacta é
Passo 7
Comentário final e domínio: a derivada está válida para
, que é o domínio natural da função original devido à raiz quadrada. Se quiser deixar em forma factorizada, a expressão do
permanece tal como está; ambas as formas abaixo são equivalentes:
ou