Sabendo-se que, se n é um número real não nulo e h(x)=[g(x)]^{n}, então
h^{\prime}(x)=n[g(x)]^{n-1} g^{\prime}(x)
Calcule.
h(x)=(\sqrt{x}+x)^{12}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de h(x) sendo
h(x) = (\sqrt{x} + x)^{12}.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Função: } h(x) = [g(x)]^{n}\text{ com }g(x)=\sqrt{x}+x\text{ e }n=12,\\\ &\text{o enunciado também fornece a fórmula }h'(x)=n[g(x)]^{n-1} g'(x),\\\ &\text{domínio natural de }h(x): \; x>0\text{ (porque aparece }\sqrt{x}\text{).} \end{aligned}çãéóí

Passo 2

Vamos identificar claramente as partes da fórmula que vamos usar. A fórmula dada é a regra da cadeia para potência:
h'(x)=n[g(x)]^{n-1} g'(x),
onde
n \text{ é o expoente (aqui }n=12\text{),}é
e
g(x) \text{ é a função interna (aqui }g(x)=\sqrt{x}+x\text{).}éçã
Ou seja, primeiro diferencio a função interna g(x) e depois multiplico por n[g(x)]^{n-1}.

Passo 3

Calculemos g'(x). Primeiro reescrevo \sqrt{x} como potência:
\sqrt{x} = x^{1/2}.
A regra de derivação para potência diz que, para qualquer x e qualquer constante a,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{a}\bigr)=a\,x^{a-1}.
Aplicando isso a x^{1/2}, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Também sabemos que
\frac{d}{dx}(x)=1.
Como g(x)=\sqrt{x}+x, somamos as derivadas:
g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+1.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia fornecida:
h'(x)=n[g(x)]^{n-1} g'(x).
Substituindo n=12, g(x)=\sqrt{x}+x e g'(x)=\tfrac{1}{2\sqrt{x}}+1, obtemos
h'(x)=12\bigl(\sqrt{x}+x\bigr)^{11}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+1\right).

Passo 5

Vamos deixar a expressão mais bonita e um pouco mais simplificada. Primeiro escrevo a soma dentro do parêntese com denominador comum 2\sqrt{x}:
\frac{1}{2\sqrt{x}}+1=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac{1+2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}.
Substituindo na expressão de h'(x) temos
h'(x)=12\bigl(\sqrt{x}+x\bigr)^{11}\cdot\frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}.

Passo 6

Podemos simplificar o fator numérico 12 com o denominador 2 do quociente:
12\cdot\frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}=\frac{12}{2}\cdot\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=6\cdot\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}.
Portanto uma forma mais compacta é
h'(x)=6\bigl(\sqrt{x}+x\bigr)^{11}\cdot\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}.

Passo 7

Comentário final e domínio: a derivada está válida para \,x>0, que é o domínio natural da função original devido à raiz quadrada. Se quiser deixar em forma factorizada, a expressão do \,g(x) permanece tal como está; ambas as formas abaixo são equivalentes:
h'(x)=12\bigl(\sqrt{x}+x\bigr)^{11}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+1\right)
ou
h'(x)=6\bigl(\sqrt{x}+x\bigr)^{11}\cdot\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}.

Resposta

h'(x)=12\bigl(\sqrt{x}+x\bigr)^{11}\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+1\right)\
h'(x)=6\bigl(\sqrt{x}+x\bigr)^{11}\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}

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