Sabendo-se que, se n é um número real não nulo e h(x)=[g(x)]^{n}, então
h^{\prime}(x)=n[g(x)]^{n-1} g^{\prime}(x)
Calcule.
h(x)=(\operatorname{sen} x+\cos x)^{6}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função h(x)=(\operatorname{sen} x+\cos x)^{6}.
Informações dadas e úteis:
  • A regra fornecida é: se h(x)=[g(x)]^{n} com n real não nulo, então
h^{\prime}(x)=n\,[g(x)]^{\,n-1}\,g^{\prime}(x).
  • Vamos precisar também das derivadas básicas: a derivada de \operatorname{sen} x é \cos x e a derivada de \cos x é -\operatorname{sen} x.

Passo 2

Identificar, no nosso caso, a função interna g(x) e o expoente n:
g(x)=\operatorname{sen} x+\cos x,\qquad n=6.
Segundo a fórmula dada, precisamos calcular g^{\prime}(x) e então substituir em h^{\prime}(x)=n\,[g(x)]^{n-1}g^{\prime}(x).

Passo 3

Calcular g^{\prime}(x) derivando termo a termo:
  • A derivada de \operatorname{sen} x é \cos x.
  • A derivada de \cos x é -\operatorname{sen} x.
    Logo,
g^{\prime}(x)=\cos x - \operatorname{sen} x.
Comentário didático rápido: derivar uma soma é derivar cada parcela e somar os resultados. Não esqueça dos sinais: a derivada de \cos x traz um sinal negativo.

Passo 4

Aplicar a fórmula da cadeia (a fórmula dada) substituindo n=6, g(x)=\operatorname{sen} x+\cos x e g^{\prime}(x)=\cos x-\operatorname{sen} x:
h^{\prime}(x)=6\,[\operatorname{sen} x+\cos x]^{5}\,(\cos x-\operatorname{sen} x).

Passo 5

Simplificação e forma final: podemos escrever os fatores em ordem conveniente, por exemplo
h^{\prime}(x)=6(\cos x-\operatorname{sen} x)(\operatorname{sen} x+\cos x)^{5}.
Observação adicional (útil na prova): se quiser, pode tirar um sinal menos comum fatorando -1, obtendo formas alternativas equivalentes, mas a expressão acima já é clara e compacta.

Resposta

h^{\prime}(x)=6(\cos x-\operatorname{sen} x)(\operatorname{sen} x+\cos x)^{5}

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