Sabendo-se que, se n é um número real não nulo e h(x)=[g(x)]^{n}, então
h^{\prime}(x)=n[g(x)]^{n-1} g^{\prime}(x)
Calcule.
h(x)=\left(x^{2}+1\right)^{10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de h(x)=\left(x^{2}+1\right)^{10}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A regra fornecida (regra da cadeia para potência) diz que, se n é um número real não nulo e h(x)=[g(x)]^{n}, então
h^{\prime}(x)=n[g(x)]^{n-1} g^{\prime}(x).
  • A função que queremos derivar é h(x)=\left(x^{2}+1\right)^{10}.

Passo 2

Vamos entender a ideia por trás da fórmula (uma mini-aula): seja u=g(x). Então h(x)=u^{n} vista como função composta. Aplicamos a regra da cadeia, que tem dois passos:
  1. Derivar a função externa em relação a u: se H(u)=u^{n}, então H'(u)=n\,u^{n-1}. Aqui n é o expoente e u é a variável dessa função externa.
  2. Multiplicar pelo derivado da função interna u=g(x), ou seja, por g'(x).
    Em fórmula: comece com h(x)=H(g(x)). Então
\frac{dh}{dx}=\frac{dH}{du}\Big|_{u=g(x)}\cdot \frac{du}{dx} = n\,[g(x)]^{n-1}\cdot g^{\prime}(x).
Explicando variáveis: n é o expoente, g(x) é a função interna, e g'(x) é a derivada dessa função interna.

Passo 3

Identificamos, no nosso caso:
g(x)=x^{2}+1,\qquad n=10.
Agora calculamos g'(x). Derivar g(x)=x^{2}+1: a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de 1 é 0. Então
g^{\prime}(x)=2x.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia:
h^{\prime}(x)=n\,[g(x)]^{n-1}\,g^{\prime}(x).
Substituindo n=10, g(x)=x^{2}+1 e g'(x)=2x, obtemos
h^{\prime}(x)=10\,[x^{2}+1]^{9}\cdot(2x).

Passo 5

Fazendo a multiplicação numérica dos coeficientes 10 e 2x:
10\cdot(2x)=20x.
Portanto
h^{\prime}(x)=20x\,[x^{2}+1]^{9}.

Passo 6

Breve verificação de sentido: h(x)=\left(x^{2}+1\right)^{10} é função par (porque depende de x^{2}), então sua derivada deve ser função ímpar; h^{\prime}(x)=20x(x^{2}+1)^{9} é ímpar — tem fator x — e também h'(0)=0, o que bate com o fato de um extremo horizontal em x=0. Essas checagens rápidas ajudam a ganhar confiança na resposta.

Passo 7

Exemplo extra rápido para fixar: se fosse k(x)=(x^{2}+1)^{3}, então por mesma lógica
k'(x)=3(x^{2}+1)^{2}\cdot 2x = 6x(x^{2}+1)^{2},
mesmo padrão de aplicação da regra da cadeia.

Resposta

20x(x^{2}+1)^{9}

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