Sabendo-se que, se
é um número real não nulo e
, então
Calcule.
Passo 1
O enunciado dá a regra geral
e pede para calcular a derivada da função
As informações relevantes que temos aqui são: a fórmula da derivada para funções da forma
(dada), e a função
que devemos derivar.
Passo 2
Entendendo a fórmula: quando escrevemos
,
é o expoente (um número real),
é a “função interna” (a parte elevada a
) e
é a derivada dessa função interna. A regra diz: para derivar
primeiro trazemos o expoente na frente (multiplicando por
), deixamos a função interna elevada a
e multiplicamos pela derivada da função interna. Exemplo rápido e concreto: se
, então
porque aqui
,
e
. Isso é a ideia do “efeito em cadeia”: a variação externa vezes a variação interna.
Passo 3
Reescrevendo nossa função numa forma que combine com a fórmula:
Assim podemos identificar diretamente:
Também é útil lembrar (fato básico) que
Passo 4
Aplicando a fórmula com
e
:
Substituindo
obtemos
Passo 5
Simplificando os sinais (duas negativas viram positiva) e escrevendo de forma mais usual:
Em forma de fração:
Outra forma equivalente, usando
e
, é
Passo 6
Dica final (coisa que costuma cair na prova): muitos esquecem o sinal de
ou não reduzem o expoente corretamente. Aqui o expoente caiu de
para
e a derivada de
trouxe um
que cancelou o sinal negativo da frente, resultando em sinal positivo final. Respira fundo e faz a sequência: identificar
e
, aplicar a fórmula, calcular
e simplificar.