Sabendo-se que, se n é um número real não nulo e h(x)=[g(x)]^{n}, então
h^{\prime}(x)=n[g(x)]^{n-1} g^{\prime}(x)
Calcule.
h(x)=\frac{1}{\cos ^{10} x}

Passo 1

O enunciado dá a regra geral
h'(x)=n[g(x)]^{n-1}g'(x)
e pede para calcular a derivada da função
h(x)=\frac{1}{\cos^{10}x}.
As informações relevantes que temos aqui são: a fórmula da derivada para funções da forma [g(x)]^{n} (dada), e a função h(x) que devemos derivar.

Passo 2

Entendendo a fórmula: quando escrevemos h(x)=[g(x)]^{n},
n
é o expoente (um número real), g(x) é a “função interna” (a parte elevada a n) e g'(x) é a derivada dessa função interna. A regra diz: para derivar h primeiro trazemos o expoente na frente (multiplicando por n), deixamos a função interna elevada a n-1 e multiplicamos pela derivada da função interna. Exemplo rápido e concreto: se H(x)=(2x+1)^3, então
H'(x)=3(2x+1)^2\cdot(2)=6(2x+1)^2,
porque aqui g(x)=2x+1, n=3 e g'(x)=2. Isso é a ideia do “efeito em cadeia”: a variação externa vezes a variação interna.

Passo 3

Reescrevendo nossa função numa forma que combine com a fórmula:
h(x)=\frac{1}{\cos^{10}x}=(\cos x)^{-10}.
Assim podemos identificar diretamente:
n=-10,\qquad g(x)=\cos x.
Também é útil lembrar (fato básico) que
(\cos x)'=-\sin x.

Passo 4

Aplicando a fórmula com n=-10 e g(x)=\cos x:
h'(x)=n[g(x)]^{n-1}g'(x) = -10[\cos x]^{-11}\cdot(\cos x)'.
Substituindo (\cos x)'=-\sin x obtemos
h'(x)=-10[\cos x]^{-11}\cdot(-\sin x).

Passo 5

Simplificando os sinais (duas negativas viram positiva) e escrevendo de forma mais usual:
h'(x)=10\sin x\,[\cos x]^{-11}.
Em forma de fração:
h'(x)=\frac{10\sin x}{\cos^{11}x}.
Outra forma equivalente, usando \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, é
h'(x)=10\tan x\operatorname{sec}^{10}x.

Passo 6

Dica final (coisa que costuma cair na prova): muitos esquecem o sinal de (\cos x)' ou não reduzem o expoente corretamente. Aqui o expoente caiu de -10 para -11 e a derivada de \cos trouxe um -\sin x que cancelou o sinal negativo da frente, resultando em sinal positivo final. Respira fundo e faz a sequência: identificar n e g, aplicar a fórmula, calcular g' e simplificar.

Resposta

\displaystyle \frac{10\sin x}{\cos^{11}x}

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