Sabendo-se que, se n é um número real não nulo e h(x)=[g(x)]^{n}, então
h^{\prime}(x)=n[g(x)]^{n-1} g^{\prime}(x)
Calcule.
h(x)=\frac{5}{\left(x^{2}+1\right)^{7}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de h(x) dada por
h(x)=\frac{5}{\left(x^{2}+1\right)^{7}}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Também nos foi dada a regra: } \quad h'(x)=n[g(x)]^{n-1}g'(x)\quad\text{quando }h(x)=[g(x)]^{n}.é
Não há outras condições ou restrições no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever h(x) numa forma que facilite usar a regra dada. Reescrevo a função como produto de uma constante por uma potência:
h(x)=5\,(x^{2}+1)^{-7}.
Aqui deixei explicito que a constante multiplicativa é 5 e a parte que precisa da regra da potência/composta é (x^{2}+1)^{-7}.

Passo 3

Agora identifico as peças da regra da derivação por cadeia:
\text{Tome }g(x)=x^{2}+1\quad\text{e}\quad n=-7.
Explicando a regra (didaticamente): a fórmula \;h'(x)=n[g(x)]^{n-1}g'(x)\; significa:
  • g(x) é a função interna (aquela que está elevada a uma potência);
  • n é o expoente (pode ser negativo);
  • g'(x) é a derivada da função interna com respeito a x;
  • Primeiro diferenciamos a potência como se fosse [\,\cdot\,]^n, ficando n[g(x)]^{n-1}, e depois multiplicamos por g'(x) (isso é a “cadeia” — derivar de fora e multiplicar pela derivada de dentro).
    Também aplicamos a regra do fator constante: a derivada de c\cdot f(x) é c\cdot f'(x). Aqui c=5.
Calculemos g'(x):
g(x)=x^{2}+1\quad\Rightarrow\quad g'(x)=2x.

Passo 4

Agora aplico a regra passo a passo:
h(x)=5\,(g(x))^{n}=5\,(g(x))^{-7}.
Derivando:
h'(x)=5\cdot\bigl(n\,(g(x))^{n-1}\cdot g'(x)\bigr).
Substituindo n=-7, g(x)=x^{2}+1 e g'(x)=2x:
h'(x)=5\cdot\bigl(-7\,(x^{2}+1)^{-8}\cdot 2x\bigr).
Calculo dos coeficientes:
5\cdot(-7)\cdot 2x = -70x.
Portanto
h'(x)=-70x\,(x^{2}+1)^{-8}.

Passo 5

Coloco a resposta numa forma fracionária mais usual (sem expoente negativo):
h'(x)=-\frac{70x}{(x^{2}+1)^{8}}.
Exemplo rápido de verificação mental: se tivéssemos k(x)=(x^{2}+1)^{7} (expoente positivo), a derivada seria k'(x)=7(x^{2}+1)^{6}\cdot 2x=14x(x^{2}+1)^{6}. A lógica de multiplicar pelo 2x (derivada de x^{2}+1) é a mesma usada acima — só muda o sinal e valores dos coeficientes por causa do expoente negativo e do fator 5.

Resposta

-\dfrac{70x}{(x^{2}+1)^{8}}

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