Sabendo-se que, se
é um número real não nulo e
, então
Calcule.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
dada por
Informações relevantes fornecidas:
Não há outras condições ou restrições no enunciado.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever
numa forma que facilite usar a regra dada. Reescrevo a função como produto de uma constante por uma potência:
Aqui deixei explicito que a constante multiplicativa é
e a parte que precisa da regra da potência/composta é
.
Passo 3
Agora identifico as peças da regra da derivação por cadeia:
Explicando a regra (didaticamente): a fórmula
significa:
-
é a função interna (aquela que está elevada a uma potência); -
é o expoente (pode ser negativo); -
é a derivada da função interna com respeito a ; - Primeiro diferenciamos a potência como se fosse
, ficando , e depois multiplicamos por (isso é a “cadeia” — derivar de fora e multiplicar pela derivada de dentro).
Também aplicamos a regra do fator constante: a derivada deé . Aqui .
Calculemos
:
Passo 4
Agora aplico a regra passo a passo:
Derivando:
Substituindo
,
e
:
Calculo dos coeficientes:
Portanto
Passo 5
Coloco a resposta numa forma fracionária mais usual (sem expoente negativo):
Exemplo rápido de verificação mental: se tivéssemos
(expoente positivo), a derivada seria
. A lógica de multiplicar pelo
(derivada de
) é a mesma usada acima — só muda o sinal e valores dos coeficientes por causa do expoente negativo e do fator
.