Sabendo-se que, se
é um número real não nulo e
, então
Calcule.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
.
Foi dada a regra geral: se com
real não nulo, então
Foi dada a regra geral: se
Informações relevantes: a função
está escrita como raiz quadrada, o que corresponde a uma potência
; o que precisamos é identificar a função interna
, o expoente
e aplicar a regra dada.
Passo 2
Identifico as partes para aplicar a regra:
e
porque
. Aqui
é a “parte de dentro” da raiz e
é o expoente.
Passo 3
Calculo
. Uso regras básicas de derivada (derivada da soma é soma das derivadas; derivada de
é
; derivada de
é
):
Explicando gentilmente: para
usamos a regra potência
com
, dando
.
Passo 4
Agora aplico a regra da cadeia dada:
Substituindo
,
e
,
Como
, isso fica
Converto a potência negativa em raiz no denominador para ficar mais legível:
Passo 5
Comentário sobre domínio e validade: a expressão final para
só faz sentido onde
, i.e. onde
. Os zeros de
são
e
, onde a fórmula dá divisão por zero (logo a derivada, na forma acima, não está definida nesses pontos). Portanto a derivada explícita vale em
Se quiser, dá pra estudar derivadas laterais em
e
separadamente, mas para a maioria das provas a expressão obtida e a observação do domínio já bastam.