Sabendo-se que, se n é um número real não nulo e h(x)=[g(x)]^{n}, então
h^{\prime}(x)=n[g(x)]^{n-1} g^{\prime}(x)
Calcule.
h(x)=\sqrt{x^{2}+x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de h(x)=\sqrt{x^{2}+x}.
Foi dada a regra geral: se h(x)=[g(x)]^{n} com n real não nulo, então
h^{\prime}(x)=n[g(x)]^{n-1} g^{\prime}(x).
Informações relevantes: a função h está escrita como raiz quadrada, o que corresponde a uma potência 1/2; o que precisamos é identificar a função interna g(x), o expoente n e aplicar a regra dada.

Passo 2

Identifico as partes para aplicar a regra:
g(x)=x^{2}+x
e
n=\tfrac{1}{2},
porque \sqrt{\; \cdot\;} = (\cdot)^{1/2}. Aqui g(x) é a “parte de dentro” da raiz e n é o expoente.

Passo 3

Calculo g^{\prime}(x). Uso regras básicas de derivada (derivada da soma é soma das derivadas; derivada de x^{2} é 2x; derivada de x é 1):
g^{\prime}(x)=(x^{2})^{\prime}+(x)^{\prime}=2x+1.
Explicando gentilmente: para x^{2} usamos a regra potência (x^{k})' = kx^{k-1} com k=2, dando 2x.

Passo 4

Agora aplico a regra da cadeia dada:
h^{\prime}(x)=n\,[g(x)]^{\,n-1}\,g^{\prime}(x).
Substituindo n=\tfrac{1}{2}, g(x)=x^{2}+x e g^{\prime}(x)=2x+1,
h^{\prime}(x)=\tfrac{1}{2}\,(x^{2}+x)^{\tfrac{1}{2}-1}\,(2x+1).
Como \tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2}, isso fica
h^{\prime}(x)=\tfrac{1}{2}\,(x^{2}+x)^{-\tfrac{1}{2}}\,(2x+1).
Converto a potência negativa em raiz no denominador para ficar mais legível:
h^{\prime}(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x}}.

Passo 5

Comentário sobre domínio e validade: a expressão final para h^{\prime}(x) só faz sentido onde \sqrt{x^{2}+x}\neq 0, i.e. onde x^{2}+x>0. Os zeros de x^{2}+x são x=0 e x=-1, onde a fórmula dá divisão por zero (logo a derivada, na forma acima, não está definida nesses pontos). Portanto a derivada explícita vale em
x\in(-\infty,-1)\cup(0,+\infty).
Se quiser, dá pra estudar derivadas laterais em x=-1 e x=0 separadamente, mas para a maioria das provas a expressão obtida e a observação do domínio já bastam.

Resposta

h^{\prime}(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x}}

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