Sabendo-se que, se n é um número real não nulo e h(x)=[g(x)]^{n}, então
h^{\prime}(x)=n[g(x)]^{n-1} g^{\prime}(x)
Calcule.
h(x)=\sqrt[3]{4 x^{5}+2 x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a fórmula geral
h'(x)=n\,[g(x)]^{n-1} g'(x)
quando h(x)=[g(x)]^{n}. Pede-se para calcular a derivada de
h(x)=\sqrt[3]{4 x^{5}+2 x^{2}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{temos }h(x)=(g(x))^{n}\quad\text{com}\quad g(x)=4x^{5}+2x^{2}\quad\text{e}\quad n=\tfrac{1}{3}.

Passo 2

Vamos entender a fórmula que foi dada (regra da cadeia aplicada à função potência).
Se h(x)=(g(x))^{n}, então:
h'(x)=n\,[g(x)]^{n-1}\,g'(x).
O que isso significa, peça por peça:
  • \,n é o expoente da potência (aqui \tfrac{1}{3}).
  • g(x) é a função interna (aqui 4x^{5}+2x^{2}).
  • [g(x)]^{n-1} é a função interna elevada ao expoente diminuído de uma unidade.
  • g'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
    Intuição rápida: primeiro derivamos a “casca” t^n dando n t^{n-1}, depois multiplicamos pela derivada da “maçã” interior g'(x) — por isso o nome “regra da cadeia”.

Passo 3

Identificamos explicitamente os componentes para aplicar a fórmula:
n=\tfrac{1}{3},\qquad g(x)=4x^{5}+2x^{2},
portanto podemos reescrever
h(x)=(g(x))^{\tfrac{1}{3}}.

Passo 4

Calculamos a derivada da função interna g(x). Usamos a regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{k}=k x^{k-1}, e a linearidade da derivada.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}(4x^{5})=4\cdot 5x^{4}=20x^{4},
\frac{d}{dx}(2x^{2})=2\cdot 2x=4x.
Logo
g'(x)=20x^{4}+4x.
Podemos fatorar 4x para simplificar:
g'(x)=4x(5x^{3}+1).

Passo 5

Aplicamos a fórmula da cadeia:
h'(x)=n\,[g(x)]^{n-1} g'(x) =\tfrac{1}{3}\,[4x^{5}+2x^{2}]^{\tfrac{1}{3}-1}\,(20x^{4}+4x).
Como \tfrac{1}{3}-1=-\tfrac{2}{3}, isso fica
h'(x)=\tfrac{1}{3}\,(20x^{4}+4x)\,[4x^{5}+2x^{2}]^{-\tfrac{2}{3}}.
Simplificando o fator (20x^{4}+4x)=4x(5x^{3}+1) e passando o expoente negativo para o denominador:
h'(x)=\frac{4x(5x^{3}+1)}{3\,[4x^{5}+2x^{2}]^{\tfrac{2}{3}}}.

Passo 6

Comentário didático e sobre domínio/praticidade:
  • A expressão acima é a forma prática e simplificada da derivada; é a que você pode escrever na prova.
  • Observação sobre pontos onde a fórmula dá problemas: a expressão com expoente \tfrac{2}{3} no denominador fica indefinida quando 4x^{5}+2x^{2}=0. Aqui isso ocorre em x=0 e em x^{3}=-\tfrac{1}{2}. Nesses pontos é preciso analisar a derivada pela definição (limites). Para a maioria dos pontos x diferentes desses, a fórmula vale diretamente.

Resposta

h'(x)=\frac{4x(5x^{3}+1)}{3\,[4x^{5}+2x^{2}]^{\tfrac{2}{3}}}

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