Sabendo-se que, se
é um número real não nulo e
, então
Calcule.
Passo 1
O enunciado dá a fórmula geral
quando
. Pede-se para calcular a derivada de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Vamos entender a fórmula que foi dada (regra da cadeia aplicada à função potência).
Se , então:
Se
O que isso significa, peça por peça:
-
é o expoente da potência (aqui ). -
é a função interna (aqui ). -
é a função interna elevada ao expoente diminuído de uma unidade. -
é a derivada da função interna em relação a .
Intuição rápida: primeiro derivamos a “casca”dando , depois multiplicamos pela derivada da “maçã” interior — por isso o nome “regra da cadeia”.
Passo 3
Identificamos explicitamente os componentes para aplicar a fórmula:
portanto podemos reescrever
Passo 4
Calculamos a derivada da função interna
. Usamos a regra do poder:
, e a linearidade da derivada.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
Logo
Podemos fatorar
para simplificar:
Passo 5
Aplicamos a fórmula da cadeia:
Como
, isso fica
Simplificando o fator
e passando o expoente negativo para o denominador:
Passo 6
Comentário didático e sobre domínio/praticidade:
- A expressão acima é a forma prática e simplificada da derivada; é a que você pode escrever na prova.
- Observação sobre pontos onde a fórmula dá problemas: a expressão com expoente
no denominador fica indefinida quando . Aqui isso ocorre em e em . Nesses pontos é preciso analisar a derivada pela definição (limites). Para a maioria dos pontos diferentes desses, a fórmula vale diretamente.