Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções a seguir.
h(x)=\frac{2 x+1}{x^{2}+x}

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x)=\frac{2x+1}{x^{2}+x}
e pede para calcular a derivada de h. As informações relevantes são:
\,h(x) está definida por uma fração cujos numerador é 2x+1 e denominador é x^{2}+x.
A derivada que queremos é h'(x).
Observação importante: a função não está definida em x=0 nem em x=-1 porque o denominador zera nesses pontos.

Passo 2

Vamos identificar as partes da fração para aplicar a regra certa de derivação. Seja
u(x)=2x+1
e
v(x)=x^{2}+x.
Aqui u é o numerador e v é o denominador. A ideia é derivar u e v separadamente usando regras básicas.
Mini-aula rápida sobre derivadas básicas:
A derivada de uma função linear \,ax+b é simplesmente a, porque a inclinação é constante.
A derivada de \,x^{n} é \,n x^{n-1} (regra do poder).
Aplicando isso:
\frac{d}{dx}(2x+1)=2
\frac{d}{dx}(x^{2})=2x\quad\text{e}\quad\frac{d}{dx}(x)=1,
portanto
u'(x)=2
e
v'(x)=2x+1.

Passo 3

Agora a regra que usaremos: a regra do quociente. Para funções u(x) e v(x) com v(x)\neq 0,
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Explicando cada termo: u' é a derivada do numerador, v' é a derivada do denominador; multiplicamos u' por v, subtraímos u vezes v' e dividimos pelo quadrado de v.

Passo 4

Vamos substituir u, v, u' e v' na fórmula do quociente:
h'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}} =\frac{2\,(x^{2}+x)-(2x+1)\,(2x+1)}{(x^{2}+x)^{2}}.

Passo 5

Agora fazemos as contas no numerador passo a passo. Primeiro expandimos os termos:
2\,(x^{2}+x)=2x^{2}+2x
e
(2x+1)(2x+1)=(2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1.
Subtraindo:
2x^{2}+2x-(4x^{2}+4x+1).

Passo 6

Continuando a simplificação do numerador:
2x^{2}+2x-4x^{2}-4x-1 = (2x^{2}-4x^{2}) + (2x-4x) -1 = -2x^{2}-2x-1.
Podemos colocar um sinal negativo em evidência:
-2x^{2}-2x-1=-(2x^{2}+2x+1).

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da derivada obtemos a forma simplificada:
h'(x)=\frac{-(2x^{2}+2x+1)}{(x^{2}+x)^{2}}.
Se preferir, podemos escrever o denominador fatorado \,x^{2}(x+1)^{2}, já que x^{2}+x=x(x+1). Assim uma forma equivalente é
h'(x)=-\frac{2x^{2}+2x+1}{x^{2}(x+1)^{2}}.

Passo 8

Pequeno comentário final: o numerador 2x^{2}+2x+1 não tem raízes reais (discriminante negativo), então não há cancelamento possível com o denominador. Lembre-se novamente de que a derivada só vale onde a função original está definida, ou seja para x\neq 0 e x\neq -1.

Resposta

h'(x)=-\frac{2x^{2}+2x+1}{(x^{2}+x)^{2}}

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