Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada de
. As informações relevantes são:
está definida por uma fração cujos numerador é
e denominador é
.
A derivada que queremos é .
Observação importante: a função não está definida em nem em
porque o denominador zera nesses pontos.
A derivada que queremos é
Observação importante: a função não está definida em
Passo 2
Vamos identificar as partes da fração para aplicar a regra certa de derivação. Seja
e
Aqui
é o numerador e
é o denominador. A ideia é derivar
e
separadamente usando regras básicas.
Mini-aula rápida sobre derivadas básicas:
A derivada de uma função linear é simplesmente
, porque a inclinação é constante.
A derivada de é
(regra do poder).
Aplicando isso:
A derivada de uma função linear
A derivada de
Aplicando isso:
portanto
e
Passo 3
Agora a regra que usaremos: a regra do quociente. Para funções
e
com
,
Explicando cada termo:
é a derivada do numerador,
é a derivada do denominador; multiplicamos
por
, subtraímos
vezes
e dividimos pelo quadrado de
.
Passo 4
Vamos substituir
,
,
e
na fórmula do quociente:
Passo 5
Agora fazemos as contas no numerador passo a passo. Primeiro expandimos os termos:
e
Subtraindo:
Passo 6
Continuando a simplificação do numerador:
Podemos colocar um sinal negativo em evidência:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da derivada obtemos a forma simplificada:
Se preferir, podemos escrever o denominador fatorado
, já que
. Assim uma forma equivalente é
Passo 8
Pequeno comentário final: o numerador
não tem raízes reais (discriminante negativo), então não há cancelamento possível com o denominador. Lembre-se novamente de que a derivada só vale onde a função original está definida, ou seja para
e
.