Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções a seguir.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas: a função é a soma de duas parcelas, a primeira é uma raiz quadrada
e a segunda é uma fração racional
. Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 2
Observação inicial e estratégia: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então
Aqui vamos calcular separadamente a derivada de
e a derivada de
e depois somá-las. Também reescrevo
como potência para aplicar a regra da potência:
Passo 3
Derivada da primeira parcela usando a regra da potência. A regra da potência diz que, para qualquer real
,
Aplicando com
obtemos
Convertendo para forma de raiz,
Passo 4
Derivada da segunda parcela: vamos usar a regra do quociente. Se
e
são diferenciáveis e
, então
Aqui tomamos
Passo 5
Calcular
e
e aplicar a regra do quociente. Pela regra da potência,
e
Agora aplicando a fórmula do quociente:
Desenvolvendo o numerador passo a passo:
logo o numerador fica
Portanto a derivada da segunda parcela é
Passo 6
Somando as duas derivadas (regra da soma), obtemos a derivada total:
Observação sobre domínio: a expressão
exige
. A segunda parcela é definida para todo
, já que
sempre. Portanto
está bem definida para
.