Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções a seguir.
h(x)=\sqrt{x}+\frac{x^{2}}{x^{2}+4}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
h(x)=\sqrt{x}+\frac{x^{2}}{x^{2}+4}.
Informações dadas: a função é a soma de duas parcelas, a primeira é uma raiz quadrada \sqrt{x} e a segunda é uma fração racional \dfrac{x^{2}}{x^{2}+4}. Nosso objetivo é encontrar h'(x).

Passo 2

Observação inicial e estratégia: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
h(x)=f(x)+g(x),
então
h'(x)=f'(x)+g'(x).
Aqui vamos calcular separadamente a derivada de \sqrt{x} e a derivada de \dfrac{x^{2}}{x^{2}+4} e depois somá-las. Também reescrevo \sqrt{x} como potência para aplicar a regra da potência:
\sqrt{x}=x^{1/2}.

Passo 3

Derivada da primeira parcela usando a regra da potência. A regra da potência diz que, para qualquer real n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aplicando com n=\tfrac{1}{2} obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\tfrac{1}{2}x^{1/2-1}=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}.
Convertendo para forma de raiz,
\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Derivada da segunda parcela: vamos usar a regra do quociente. Se u(x) e v(x) são diferenciáveis e g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui tomamos
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=x^{2}+4.

Passo 5

Calcular u'(x) e v'(x) e aplicar a regra do quociente. Pela regra da potência,
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x,
e
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+4\bigr)=2x.
Agora aplicando a fórmula do quociente:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{x^{2}+4}\right) =\frac{(2x)(x^{2}+4)-x^{2}(2x)}{(x^{2}+4)^{2}}.
Desenvolvendo o numerador passo a passo:
(2x)(x^{2}+4)=2x^{3}+8x,
x^{2}(2x)=2x^{3},
logo o numerador fica
2x^{3}+8x-2x^{3}=8x.
Portanto a derivada da segunda parcela é
\frac{8x}{(x^{2}+4)^{2}}.

Passo 6

Somando as duas derivadas (regra da soma), obtemos a derivada total:
h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{8x}{(x^{2}+4)^{2}}.
Observação sobre domínio: a expressão \frac{1}{2\sqrt{x}} exige x>0. A segunda parcela é definida para todo x, já que x^{2}+4>0 sempre. Portanto h'(x) está bem definida para x>0.

Resposta

h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{8x}{(x^{2}+4)^{2}}

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