Sabendo que y(x)=C1 e^x+C2 e^-x, onde C1, C2 são constantes reais, é uma família a dois parâmetros de soluções da equação y^prime prime-y=0, encontre uma solução do problema de valor inicial
l y^prime prime-y=0 y(x0)=y0 y^prime(x0)=y1
em que x0, y0 e y1 são dados abaixo. Em seguida determine o maior intervalo de definição desta solução e esboce a curva integral correspondente a ela no plano x y.
x0=1, y0=0, y1=e

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função geral das soluções da equação diferencial y'' - y = 0 , que é dada por:
y(x) = C1 e^x + C2 e^-x
Aqui, C1 e C2 são constantes que precisamos determinar. O problema nos dá condições iniciais:
y(1) = 0 e y'(1) = e
Nosso objetivo é encontrar uma solução específica que satisfaça essas condições. Para isso, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais de segunda ordem e aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de C1 e C2 .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de y(x) para poder aplicar a condição sobre y'(1) . A função dada é:
y(x) = C1 e^x + C2 e^-x
Vamos derivar em relação a x :
y'(x) = ddx(C1 e^x) + ddx(C2 e^-x) = C1 e^x - C2 e^-x

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar C1 e C2 . Primeiro, usamos y(1) = 0 :
y(1) = C1 e^1 + C2 e^-1 = 0
Simplificando:
C1 e + C2e = 0 (1)

Passo 4

Em seguida, aplicamos a condição y'(1) = e :
y'(1) = C1 e^1 - C2 e^-1 = e
Simplificando:
C1 e - C2e = e (2)

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
C1 e + C2e = 0 (1) C1 e - C2e = e (2)
Podemos resolver esse sistema somando as duas equações para eliminar C2 :
(C1 e + C2e) + (C1 e - C2e) = 0 + e 2 C1 e = e C1 = e2e = 12

Passo 6

Agora que temos C1 = 12 , substituímos esse valor na equação (1) para encontrar C2 :
12 e + C2e = 0 C2e = -e2 C2 = -e^22

Passo 7

Com os valores de C1 e C2 determinados, podemos escrever a solução específica do problema de valor inicial:
y(x) = 12 e^x - e^22 e^-x
Essa é a solução que satisfaz as condições dadas y(1) = 0 e y'(1) = e .

Passo 8

Agora, vamos determinar o maior intervalo de definição dessa solução. Como as funções exponenciais e^x e e^-x são definidas para todos os números reais, a solução y(x) também está definida para todo x in R .

Passo 9

Por fim, para esboçar a curva integral no plano xy , observamos que a função y(x) = 12 e^x - e^22 e^-x combina o crescimento exponencial de e^x com o decaimento exponencial de e^-x . No ponto x = 1 , a função atinge o valor zero, seguindo as condições iniciais. A curva tende a +infty quando x aumenta e a -infty quando x diminui, refletindo o comportamento das exponenciais.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(x) = 12 e^x - e^22 e^-x
O maior intervalo de definição desta solução é (-infty, infty) .

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