Sejam a, b e c inteiros. Prove que:
(c) Se b \mid c, então \operatorname{mdc}(a, b)=\operatorname{mdc}(a+c, b).

Passo 1

O enunciado dá que a,b,c são inteiros e que b\mid c (ou seja, b divide c). Pede para provar que
\operatorname{mdc}(a,b)=\operatorname{mdc}(a+c,b).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • a,b,c\in\mathbb{Z}.
  • b\mid c, isto é, existe k\in\mathbb{Z} tal que c = k b.
  • Queremos comparar os divisores comuns a a e b com os divisores comuns a a+c e b, e concluir que os máximos desses conjuntos (os mdc) são iguais.

Passo 2

Relembrando definições úteis (bem devagarinho):
  • Dizemos que d divide x e escrevemos d\mid x quando existe m\in\mathbb{Z} com x = dm.
  • Um divisor comum de dois inteiros x e y é um inteiro d tal que d\mid x e d\mid y.
  • \operatorname{mdc}(x,y) é o maior (em valor absoluto) inteiro que é divisor comum de x e y. Assim, se os conjuntos de divisores comuns de dois pares são iguais, seus mdc também serão iguais.
  • Propriedade de transitividade da divisibilidade: se d\mid b e b\mid c então d\mid c. Vou usar isso várias vezes.

Passo 3

Mostro a primeira inclusão de conjuntos (esta é a parte intuitiva): seja d um divisor comum de a e b. Isso significa que
d\mid a \quad\text{e}\quad d\mid b.
Como b\mid c pelo enunciado, pela transitividade temos d\mid c. Logo d divide tanto a quanto c, então divide a soma a+c. Assim
d\mid (a+c)\quad\text{e}\quad d\mid b,
ou seja, d é um divisor comum de a+c e b. Conclusão: todo divisor comum de a e b é também divisor comum de a+c e b. Em linguagem de conjuntos:
\{\,d:\\ d\mid a\\ \text{e}\\ d\mid b\,\}\subseteq \{\,d:\\ d\mid (a+c)\\ \text{e}\\ d\mid b\,\}.

Passo 4

Agora a inclusão inversa: seja e um divisor comum de a+c e b. Então
e\mid (a+c)\quad\text{e}\quad e\mid b.
De e\mid b e b\mid c (hipótese) segue, pela transitividade, que e\mid c. Portanto e divide c e divide a+c, então divide a diferença (a+c)-c, que é exatamente a. Assim
e\mid a\quad\text{e}\quad e\mid b,
isto é, e é divisor comum de a e b. Portanto
\{\,d:\\ d\mid (a+c)\\ \text{e}\\ d\mid b\,\}\subseteq \{\,d:\\ d\mid a\\ \text{e}\\ d\mid b\,\}.

Passo 5

Das inclusões dos Passos 3 e 4 segue que os dois conjuntos de divisores comuns coincidem:
\{\,d:\\ d\mid a\\ \text{e}\\ d\mid b\,\}=\{\,d:\\ d\mid (a+c)\\ \text{e}\\ d\mid b\,\}.
Se dois pares têm exatamente o mesmo conjunto de divisores comuns, o maior divisor comum (o \operatorname{mdc}) também é o mesmo para os dois pares. Portanto
\operatorname{mdc}(a,b)=\operatorname{mdc}(a+c,b).

Passo 6

Observação e generalização útil para prova de prova: o argumento acima não usa nada específico de c além de ser múltiplo de b. Se c=k b com k\in\mathbb{Z}, então a mesma demonstração mostra que, para todo inteiro k,
\operatorname{mdc}(a,b)=\operatorname{mdc}(a+kb,b).
Isso é uma propriedade prática na prova: somar um múltiplo de um dos números ao outro não altera o mdc. Um exemplo concreto para fixar: tome a=6, b=4, c=8 (aqui 4\mid 8). Temos \operatorname{mdc}(6,4)=2 e \operatorname{mdc}(6+8,4)=\operatorname{mdc}(14,4)=2, conforme a propriedade.

Resposta

\operatorname{mdc}(a,b)=\operatorname{mdc}(a+c,b)

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